distance à un ensemble.

[inviteb44ed84f]

Bonjour a tous,

J'essaie de faire un exercice sur des distances en topologie, mais j'ai du mal a démarer ...

||.|| est la norme euclidienne sur Rn.
C est un sous ensemble fermé non vide de Rn.
pour tout x de Rn, la distance a C de x, dc(x) est égale a inf{||c-x|| / c ∈ C}

Calculer dc pour l'ensemble suivant : dans R² , C1 = {(x,y) ∈ R² / x ≤ 0, y ≤ 0}.

Deja, pour moi si x ∈ C alors on a dc = 0 : on prend c∈C tel que c = x (c1 = x1 , c2=x2) et on a alors ||c-x||= 0 donc dc= 0.
Si x n'appartien pas a C, la c'est plus compliqué, on a inf{||c-x|| / c ∈ C}= inf {/ c∈C} ... La je suis un peu bloqué pour moi il faut prendre un c qui est au bord de l'ensemble c'est a dire avec c1 = 0 ou c2 = 0... je vois pas trop comment faire ...

Si quelqu'un peu me guider pour la résolution de cette question je l'en remercie d'avance !

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[inviteb44ed84f]

Je crois que j'avance un peu,
si x ∈( R- x R +) alors dc = inf {/ c ∈ C }
si x ∈( R+ x R -) alors dc = inf {/ c ∈ C }

suis-je sur la bonne voie ? j'ai peur de m'égarer un peu ...

Merci beaucoup !

[DucK974]

Bonsoir.
Alors tu as trois cas à gérer suivant que x>0 et y>0, x>0 et y<0, x<0 et y>0. La distance de x à C étant || x - P_C(x) || ou P_C(x) est la projection orthogonale de x sur C tu devrais avoir ta réponse.

[Seirios]

Bonsoir,

As-tu fait un dessin ? Parce que la réponse se voit bien sur un dessin.

[A voir en vidéo sur Futura]