ensembles dénombrables

[yves_amevoin_k.]

Bonjour.
J'ai un petit souci. je n'arrive pas à trouver une définition exacte d'un ensemble dénombrable. Il y en a 2 que j'ai rencontrées. En premier, un ensemble est dit dénombrable s'il est en bijection avec IN et au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable. Un ensemble fini n'est donc pas dénombrable. En second, un ensemble est dit dénombrable s'il est en injection avec IN. En particulier tout ensemble fini est dénombrable. J'ai même appris que si l'ensemble est infini l'application injective est une bijection. Je suis un peu perdu... vous pouvez m'aider?

Merci de m'avoir lu.
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[Seirios]

Bonsoir,

Les deux définitions se retrouvent un peut partout, aucune des deux ne fait l'unanimité, mais on s'en sort généralement avec le contexte. Ce qui est sûr, c'est que si l'on précise que l'ensemble est au plus dénombrable, c'est qu'il s'injecte dans IN, si l'on précise qu'il est strictement dénombrable, c'est qu'il en bijection dans IN ; mais si l'on dit simplement qu'il est dénombrable, cela dépend du contexte et des conventions utilisées par celui qui tient la plume.

[yves_amevoin_k.]

Merci de m'avoir répondu. Au fait, si je comprends bien, il n'y a pas de définition rigoureuse de la chose. Et cela varie en fonction des circonstances. J'ai longtemps pensé que tous les contextes avaient été parcourus en théorie des ensembles et je m'étais rassuré qu'il y avait universalité sur la notion même d'ensemble dénombrable. je me suis trompé... Faut dire que cette partie des maths n'est pas très très très rigoureuse.

[Seirios]

Attention, la notion de dénombrabilité est tout à fait définie, il n'y a aucun problème sur le bien fondé de la définition (d'ailleurs, quelle ambiguïté peut-il y avoir dans : un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec IN ; cela ne te semble pas une définition tout à fait correcte ?) ; ce n'est qu'une question de convention qui varie d'un auteur à un autre.

Concernant la rigueur de la théorie des ensembles, as-tu déjà ouvert un cours traitant du sujet ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Faut dire que cette partie des maths n'est pas très très très rigoureuse.

C'est la partie des mathématiques qui est la plus rigoureuse ; le fait qu'il n'y ait pas unanimité sur une définition n'a rien à voir avec la rigueur (ce n'est d'ailleurs qu'anecdotique), ce genre de chose arrive souvent (regardez en algèbre), et vient souvent d'un écart à l'origine entre le monde anglophone et le monde francophone.

[yves_amevoin_k.]

Merci. Au fait mes préoccupations sont les suivantes: j'aimerais savoir si "réunion finie" est inclue dans "réunion dénombrable". Si c'est le cas, je peux montrer qu'une collection d'ensembles est une sigma-algèbre en sautant la partie stabilité par réunion finie et en l'incluant dans réunion dénombrable. Aussi, quand on parle de "réunion finie", est-ce qu'on inclue aussi "réunion sur le vide?". Avec difficulté j'ai vu que l'accepter mène à plusieurs contradictions. J'ai donc voulu savoir la définition exacte d'un ensemble dénombrable pour tirer un trait.

[Seirios]

La stabilité par union dénombrable implique la stabilité par union finie : il suffit de prendre une suite d'ensembles constante à partir d'un certain rang. Ensuite, l'ensemble vide est bien un ensemble fini, donc la stabilité par union finie inclue bien l'union vide.