nilradical

[369]

Bonjour


Je cherche le nilradical de 12Z
Je veux montrer que le nilradical est

j'arrive à montrer que inclus dans 12Z

mais comment faire l'autre inclusion?


merci de votre aide
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[DSCH]

j'arrive à montrer que inclus dans 12Z

Bonjour… tu es sûr de toi ? Ou alors je ne comprends pas tes notations… Parce que (c'est ), mais (ce n’est même pas un nombre entier !). Le nilradical de est l’ensemble des éléments nilpotents de , il n’y en a peut-être pas beaucoup… Ne te laisse pas abuser par la terminologie « radical », ça ne veut pas dire qu’on parle de racine carrée !

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises (je n’ai pas touché à ça depuis fort longtemps).

[toothpick-charlie]

c'est aussi l'intersection des idéaux premiers (si je me souviens bien, pour moi aussi c'est vieux)

[369]

ah voilà peut-être le problème
c'est ou bien

sinon pour l'inclusion que j'ai trouvé j'ai fais:
soit a dans
a= x dans Z

a²=12x qui est dans 12Z
donc a est dans

[A voir en vidéo sur Futura]

[DSCH]

ah voilà peut-être le problème
c'est ou bien

sinon pour l'inclusion que j'ai trouvé j'ai fais:
soit a dans
a= x dans Z

a²=12x qui est dans 12Z
donc a est dans

Comment définis-tu ?

Sinon, tu as en gros montré que , ce qui n’est pas une trouvaille.

Je me demande bien le rapport entre tout ça et la notion de nilradical.

[DSCH]

Tu es sûr qu’on ne te demande pas plutôt le nilradical de , ce qui aurait déjà plus de sens ?

[369]

dans ce cas c'est moi qui a mal compris la notation, à l'origine on avait

et dans ce cas comment trouver le nilradical

[DSCH]

On redescend doucement sur Terre : est une autre notation classique pour . Je ne vais plus suivre le fil (je dois sortir), mais il s’agit pour le moment d’appliquer la définition du nilradical (qui a été rappelée plus haut), et qui n’a rien à voir avec la notion de racine carrée…

[369]

après recherche j'ai pas trouvé le nilradical

[DSCH]

On ne peut pas faire grand chose sans savoir de quoi on parle. Je ne suis toujours pas sûr de la notation utilisée. J’ai peur de m’être un peu trop avancé en affirmant que est une notation usuelle pour le groupe cyclique (j’avais peut-être un peu trop envie que l’énoncé corresponde à ce que j’avais cru deviner au début). Il me semble avoir déjà rencontré (et peu apprécié) cette notation pour un groupe cyclique, mais je n’en suis plus tout à fait sûr. Par ailleurs, est la notation classique pour l’anneau des entiers adiques.

Bref, je ne suis pas un algébriste et préfère ne pas dire de bêtise. Peut-être quelqu’un plus familier du domaine pourra t’aider…

[toothpick-charlie]

tiens? je n'ai jamais rencontré de nombres p-adiques avec p non premier.

[DSCH]

Bonne remarque. Bon, il n’y a donc pas d’ambiguïté sur la notation, et je vais peut-être aller soigner ma fièvre au lieu de faire des mathématiques délirantes.

[invite76543456789]

Salut,
Bon ce serait pas mal de clarifier ce que tu recherche. TU cherches le radical de 12Z?
Dans un anneau (commutatif unitaire) le radical d'un ideal c'est l'ensemble des u tel qu'une certaine puissance de u soit dans l'ideal.
Le nilradical, c'est l'ensemble des nilpotents, c'est comme dit l'intersection des ideaux premiers de l'anneau, c'est le radical de l'ideal (0).
Il y a bien sur une correspondance naturelle entre le radical de I et le nil radical de A/I, du coup tu vois facilement que le radical de I, c'est l'intersection des ideaux premiers qui contiennent I.

Du coup chercher le nilradical de Z/12Z ou le radical de 12Z (dans Z) c'est la meme chose, maintenant quels sont les ideaux premiers qui contiennent 12Z? Ou alors dit directement, quels sont les nombres tel qu'une certaine puissance de eux soit divisibles par 12 (ecris la decomposition en facteurs premiers).

Enfin on peut parler d'entiers n-adiques pour tout n (et meme pour tout ideal I d'un anneau quelconque, on peut definir des elements I-adiques), mais en l'occurence Z_12 n'a pas un interet monstrueux, par le lemme chinois, c'est simpement Z_2xZ_3 (il faut aussi remarquer que la limite projective des Z/4^kZ c'est la meme chose que celle des Z/2^kZ, ce qui n'est pas tres etonant, la premiere etant un rafinement de la seconde).

[369]

dans mon cours j'ai un exemple de nilradical
le nilradical de 9Z est 3Z et on ne parle pas d'idéaux premier et il y a une racine carré:

[Médiat]

Bonsoir,

vous ne lisez pas les réponses qui vous sont faites, et l'exemple que vous donnez est le pire possible puisqu'il vous a poussé à écrire :

Je veux montrer que le nilradical est

A tout hasard 6*6 = 0 (mais je n'ai rien démontré !)