Applications linéaires

[Oggy75]

Bonjour à tous,

Je fais un exercice d'algèbre linéaire:

K est un corps
On s'intéresse aux couples (u,v) de L(E,F) avec E et F K-espaces vectoriels
vérifiant la propriété (*):
il existe f un endormorphisme de F tel que v=f°u

On note D l'opérateur de dérivation de K[X], D:P-->P'
Je dois caractériser les endomorphismes v de K[X] tel que le couple (D,v) vérifie (*)
i.e. il existe f endomorphisme de K[X] tel que v=f°D

Je ne vois pas trop comment m'y prendre et ce que je dois entendre exactement pas caratériser

Je sais déjà que Keru doit etre inclus dans Kerv
et que v:P--> P(X+1)-P(X) convient

Merci d'avance pour votre aide
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[Oggy75]

Alors personne pour m'aider ?

S'il vous plait, donner moi un petit coup de pouce

[DSCH]

Bonjour,

Caractériser, c’est donner une condition nécessaire et suffisante. Vous avez déjà montré que la condition est nécessaire pour que l’existence de soit possible. Avec un peu de chance, c’est peut-être aussi une condition suffisante ? Je vous laisse essayer de le démontrer.

[Oggy75]

Bonjour DSCH,
en fait, montrer que Ker u inclus dans Ker v est une condition suffisante est la 5° question de mon exo,
je dois ici caractériser v dans le cas ou u est l'opérateur de dérivation
Toute fonction dont le noyau contient le sev des polynomes constants conviendra,
mais comment le montrer sans utiliser la dernière question de mon exo dans ce cas particulier ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[DSCH]

On a peut-être affaire à un exercice où traiter un cas particulier préalable n’apporte pas grand chose : je ne vois pas de démonstration conceptuellement plus simple pour ce cas particulier que pour le cas général. Alors je suggère de mimer la preuve du cas général…

[Oggy75]

j'avais fait le début de la preuve dans le cas général:

Soit u,v dans L(E,F), on suppose que tout sev de E ou de F admet un supplémentaire.

Supposons Ker u inclus dans Ker v
Notons E1 un supplémentaire de Ker u dans E,
Pour tout x de E, il existe (y,z) de Keru*E1 tel que x=y+z
donc u(x)=u(z)
et v(x)=v(z)
là il faudrait définir une fonction f définie sur Imu tel que pour toute x de F, f(x)=v(u^-1(x))
mais comment montrer que cette fonction existe ?