Il existe certainement des fonctions continues partout et dérivables nulle part, on les construit comme limite de suite de fonction avec des "pics".
Mais connaissez vous des fonctions dérivables partout, dont la dérivée n'est continue en aucun point ?
Pour simplifier, on peut se donner le segment [0,1], si cela est plus facile.
Merci d'avance
Voici une fonction continue partout et dérivable nulle part :
On me l'avait gentillement donnée il y a peu sur ce même forum.
Dernière modification par prgasp77 ; 03/01/2006 à 15h31.
--Yankel Scialom
Merci mais ce n'est pas ma question. Je cherche une fonction dont la dérivée existe en chacun des points, mais n'est continue nulle part.
Oups ...
Edit : mieux vaut ne rien dire que de dire une grosse bétise
Dernière modification par prgasp77 ; 03/01/2006 à 15h39.
--Yankel Scialom
En prenant une fonction continue nulle part mais pourtant intégrable (genre fonction caractéristique de Q), il doit suffire d'en prendre une primitive (intégrale de 0 à x).
Je crains que la fonction caractéristique de Q ne soit pas intégrable, non ?
Soit la fonctiondéfinie sur l'ensemble des réels par
La primitive de cette fonction est, ma foi, dérivable partout et sa dérivée n'est continue nulle part.
Bon, de telles fonctions existent ... mais je m'excuse je suis bien incapable de donner un exemple.
--Yankel Scialom
Je ne suis pas sur que la primitive de cette fonction existe...Envoyé par prgasp77
Soit la fonction
La primitive de cette fonction est, ma foi, dérivable partout et sa dérivée n'est continue nulle part.
Bon, de telles fonctions existent ... mais je m'excuse je suis bien incapable de donner un exemple.
Oups, effectivement ça ne marche pas (pas en forme moi), mais ce n'est pas parce que la fonction n'est pas intégrable (elle est Lebesgue-intégrable), c'est que les hypothèses ne sont pas suffisantes pour que l'intégrale de 0 à x de la fonction admette comme dérivée la fonction en question (l'intégrale est nulle puisque Q est de mesure nulle).
Cela marcherait si elle était Riemann intégrable, non ?
Re : Question de dérivabilité
Une fonction dérivée est continue sur un ensemble dense, c'est une application du théorème de Baire.
"Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein
Salut,
je ne suis pas certain qu'une telle fonction existe...
La dérivée serait partout discontinue et vérifierait le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de Darboux).
EDIT: grillé par doryphore.
En fait une fonction dérivée est même continue sur un sous espace dense de son espace de définition.
C'est je pense plus fort que le théorème de Darboux.
C'est une conséquence directe du théorème de la limite simple de Banach.
Sauf erreur(s)
A+
