Convexité

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, j'aime travailler et chercher quelques théorèmes dans mon coin, cela fait quelque temps que je travaille sur la convexité, et il y a un théorème que je pense vrai, mais que je n'arrive malheureusement pas à démontrer. On se donne un lR-espace vectoriel E puis une partie A de E.

On définit une suite de P(E) par , puis pour tout entier k par avec , la suite est croissante, et la réunion de tous ses termes est H(a) définit ci dessous:

Je note l'enveloppe convexe de A, c'est à dire l'intersection des parties convexes contenant A, ou de manière équivalente, les barycentres positifs formés par A.

J'aimerai alors montrer que si la dimension du plus petit sous espace affine de E contenant A est n, alors on a .

Peut être par récurrence sur la dimension du sous-espace affine... des idées?
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[Seirios]

Bonsoir,

À première vue, je dirais que le théorème de Carathéodorie devrait t'aider.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, je pense oui qu'il va m'aider, merci

[Suite2]

J'ai juste un petit problème dans cet énoncé, j'y ai réfléchis hier soir avant de dormir et je trouvais que tu avais une très belle vision des choses, mais il y a un hic.

Prenons un cas simple. , le cercle unité centré en 0 dans le plan vectoriel (x=0). est clairement convexe. Il est clair que le plus petit sous-espace affine de E contenant est au minimum de dimension 1 (même mieux il est de dimension 2). Pourtant

Je prétend donc ne pas avoir compris l'énoncé du problème, ou faire une erreur de raisonnement(je n'espère pas), ou que l'énoncé est faux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

L'entier n dont parle RoBeRTo-BeNDeR n'est pas nécessairement le plus petit ayant cette propriété ; il est clair que pour tout ensemble convexe, mais il est également vrai que , donc cela ne pose pas de problème.

[Suite2]

Grand merci!!!!!!!! Je suis débile.. Pourquoi suis-je aussi bête !

En effet, j'ai méchamment associé "le plus petit" avec "le plus petit", alors qu'il n'y avait aucune raison à priori que ce soit le même plus petit!

Merci encore et désolé pour cette remarque..

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, attention le cercle unité n'est pas convexe, le disque oui.

Oui ce n'est pas nécessairement le plus petit.

On a parfois beaucoup d'intuitions complètements fausses pour la convexité -_-''

[Suite2]

Décidément j'étais défoncé lorsque j'écrivais mon dernier message... Il va de soit que je dessinais une boule centrée en 0 de rayon 1 puis je prenais son intersection avec le plan x=0. Bien entendu le cercle en tant que cercle n'est pas du tout du tout convexe

A ma connaissance je n'ai jamais eu trop de problèmes à intuiter la convexité.

Merci pour ces remarques !

P.S. : Hausdorffien peut être un bon exemple de travail sur l'enveloppe convexe. Soit u un endomorphisme sur un espace pré-hilbertien complexe, on pose H(u) "l'Hausdorffien de u" définit par l'ensemble des u(x) scalaire x pour x dans E. Etude de H(u).

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, j'ai juste une question, pourquoi dans la démonstration du théorème de Carathéodory peut on assurer que les t_i sont de somme non nulle?

[Seirios]

À quoi font référence les ?

[RoBeRTo-BeNDeR]

Dans la preuve usuelle sur la page wiki, les t_i sont les coefficients qui permettent d'exprimer la liaison affine entre les a_i. Je ne vois pas exactement pourquoi leur somme ne peut être nulle...

[Seirios]

Cela fait quelques temps que je n'ai pas utilisé les barycentres... Mais on peut tout à fait voir les choses de manière purement vectorielle : http://math.univ-lyon1.fr/~clarke/Lecture_Notes_2_3.pdf (proprosition 2.6).

[taladris]

Bonjour, j'ai juste une question, pourquoi dans la démonstration du théorème de Carathéodory peut on assurer que les t_i sont de somme non nulle?

C'est la définition de la dépendance affine: la somme des coefficients t_i fait nécessairement 1 par définition.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, pour moi, sont affinement liés si est une famille liée de l'espace vectoriel associé, j'ai donc des coefficients tels que , mais en aucun cas que la somme des coefficient soit non nulle ...

[taladris]

C'est la définition de la dépendance affine: la somme des coefficients t_i fait nécessairement 1 par définition.

Arf, cela découle bien de la définition de dépendance affine, mais il faut être plus précis.

Dans un espace affine A, des points sont affinement dépendants si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiées:
1) est linéairement dépendant
2) il existe dans tel que
3) sont linéairement dépendants (dans ).
4) L'un des points est barycentre des autres points.

La démonstration est simple: il suffit d'adapter la preuve du théorème: les vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres vecteurs.

Cordialement

PS: pour la géométrie affine et convexe de base, le livre de Michèle Audin ou celui de (Patrick?) Tauvel sont de bonnes références. Leur titre est "Géométrie" pour les deux.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Merci, je viens de comprendre mon erreur, c'est évident merci!