demo groupes abeliens

[Gothmog]

Bonjour,
je voudrais prouver que si est un groupe abelien d'exposant , si est une factorisation de avec , alors est la somme directe , avec l'ensemble des éléments qui ont pour période une puissance de .
Pour cela, on écrit que comme alors tq
donc on a
il est ensuite écrit que car

C'est ce qui me pose problème, qu'est ce qui nous dit que est la période de ? Pourquoi la période ne serait elle pas inférieure à ? Si et étaient premiers ce serait clair, mais là je ne vois pas.
Je loupe clairement quelque chose, voyez vous de quoi il s'agit ?
Merci à vous !
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[Seirios]

Bonsoir,

Je pense que le problème vient de la définition de période. Quelle en est la définition qui t'est donnée ?

[Gothmog]

Bonsoir Seirios, et merci.
Je ne suis pas chez moi donc pas moyen de contrôler mais il me semble que la définition de la période donnée dans le livre est : pour x appartenant à A, le plus petit n tel que n.x = 0.
Peut être as tu le livre en question, il s'agit de Undergraduate Algebra, de Serge Lang.

[Seirios]

Dans la version du Lang que j'ai, est le noyau de la multiplication à gauche par , et donc il n'y a pas de problème. Il s'agit peut-être d'une petite coquille dans ta version.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Bl'ensemble des éléments qui ont pour période une puissance de .

Le mot "puissance" est curieux (il n'y a pas, dans le cas indiqué, d'élément de période m², etc.), "diviseur" serait attendu. Quelle est le terme anglais ?

(Au passage, il y a quelques erreurs de typo dans le message #1, rendant la démo incompréhensible à qui ne sait pas les corriger à la volée... Pourrait être utile de les corriger, voir avec un modo.)

[Gothmog]

Bonsoir,

@Seirios : la définition de période (de ) donnée dans le livre est en effet : le plus petit entier naturel tel que . Mais le problème ne vient donc pas de la.
Peux tu m'indiquer la page se trouve la définition de ? J'ai la troisième version.
Avec le résultat espéré il démontre (et c'est effectivement immédiat) que si avec les étant premiers, alors , la définition donnée de étant le sous groupe des éléments de dont la période est une puissance de , d'où ma confusion avec (bon après coup la différence est tout de même flagrante ).

@Amanuensis : en fait c'est une déduction que j'ai faite vu la ressemblance et les apparitions quasi-successives de et de , et en effet aucun élément de n'a pour ordre une puissance de supérieure à 1. J'ai pris une liberté et me suis gouré .