Esperance et Fubini

[Faror]

Bonjour à tous!

Voila j'ai un exercice de probabilités niveau L3 ou je bloque vraiment.
Voici l'énoncé:
Soit X une var de loi P_X et de fonction de repartition F telle que P(X>=0) = 1.

1) Justifier l'existence de E(X) et donner sa définition.

2) A l'aide tu théorème de Fubini-Tonelli etablir que:


3)On suppose que où est la mesure de Dirac au point n.
Montrer que:

Pour la question 2) je ne vois vraiment pas comment faire pour trouver le resultat en utilisant le théoreme de Fubini car on l'utilise pour les fonction à 2 variables mais je n'ai pas de fonction à 2 variables voilà ce sur quoi je suis tombé:

car est P_X négligeable. Sinon après je bloque. Et je pense que l3) necessite d'avoir résolu la 2, en tout cas pareil je ne vois pas comment faire.

Quelqu'un peut-il m'aider svp?

Merci d'avance
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[Tryss]

Fubini, c'est pour "inverser" deux intégrales, cherche donc à faire apparaitre une seconde intégrale, par exemple en utilisant une définition de F par une intégrale.

[toothpick-charlie]

tu peux remarquer que 3) est un cas particulier de 2) à condition de prendre l'intégrale par rapport à la mesure de comptage sur N. Mais tu peux aussi le redémontrer en inversant cette fois les sommations et non plus des intégrales (en faisant du "Fubini discret")

[Faror]

Fubini, c'est pour "inverser" deux intégrales, cherche donc à faire apparaitre une seconde intégrale, par exemple en utilisant une définition de F par une intégrale.

Merci pour ta réponse, mais là je ne sais pas si X est une var à densité ou pas donc je ne peux pas écrire la fonction de répartition sous forme d'intégrale non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Faror]

Alors en creusant un peu je suis tombé sur ca:

Quand je remplace dans l'intégrale que je suis sensé trouvé, j'ai:

Avec le theoreme de fubini j'y suis presque sauf que je ne récupère pas t mais en calculant l'intégrale:

ca me donne du
et de plus il faudrait que cette intégrale:

soit définie sur |R+ pour que je retombe sur:
.

Avez vous une idee svp?

Merci d'avance

[Tryss]

On a, par définition,

Ou encore

C'est à dire,


Tu as donc :



Ensuite on récrit ça avec des fonctions indicatrices (et le fait que l'intégrale de 1 sur R par rapport à Px soit égale à 1):



Ensuite on s'arrange pour tout mettre dans une seule indicatrice :



Et après Fubini, et le résultat suit facilement en intégrant d'abord par rapport à t


De manière générale, quand on fait du Fubini, il est généralement sympathique d'écrire tout les domaines sous forme d'indicatrice : ça rend les choses beaucoup plus claires (donc simple)

[Faror]

Merci Tryss, j'ai bien compris et reussi cette question.

tu peux remarquer que 3) est un cas particulier de 2) à condition de prendre l'intégrale par rapport à la mesure de comptage sur N. Mais tu peux aussi le redémontrer en inversant cette fois les sommations et non plus des intégrales (en faisant du "Fubini discret")

Merci toothpick-charlie pour ta réponse mais je n'ai pas bien compris ce qu'il faut faire stp?

[Tryss]

Tu peux aussi expliciter la valeur de F(t) pour la probabilité Px. L'intégrale est alors facile à calculer et on retombe bien sur le résultat demandé

[Faror]

Merci Tryss. J'ai fait comme tu m'as dit mais encore une fois je suis bloqué à cause du 1. Voila ce que ça me donne:


J'ai éssayé plusieurs choses mais rien de concluant.

[toothpick-charlie]

je pense que tu n'as rien à montrer, tu poses la mesure de comptage sur et tu appliques le résultat précédent.

[Faror]

Oui mais je n'ai pas le droit de faire ca, si? Ici représente la mesure de Lebesgue, je ne peux pas poser n'importe quoi non?

[toothpick-charlie]

lambda c'est juste un nom, ici tu considères la mesure de comptage. En fait une loi sur les entiers peut être vue comme une loi continue par rapport à la mesure de comptage. Sa densité est donnée tout bêtement par les probabilités P(n). Tu as si est la mesure de comptage.

mais bon, si tu veux faire plaisir à ton prof, tu peux redémontrer la proposition dans le cadre discret. Il faut juste remarquer que n=1+1+..+1 (c'est l'équivalent de )

[toothpick-charlie]

c'est vraiment affreux la façon dont les formules sont insérées dans le texte...

[Tryss]

Merci Tryss. J'ai fait comme tu m'as dit mais encore une fois je suis bloqué à cause du 1. Voila ce que ça me donne:


J'ai éssayé plusieurs choses mais rien de concluant.

Forcément, tu as remplacé F(t) par Px... tu n'as pas fait ce que je t'ai suggéré : calculer F(t)

[Faror]

Oui autant pour moi voila:

Donc
Mais je ne vois toujours pas...
Merci

[Tryss]

Tu peux simplifier



Que vaut ?

[Faror]

Ah oui on a alors: . Mais je ne vois pas par ou commencer en gros ou je dois remplacer cette expression, dois je utiliser l'intégrale? ou partir de l'expression que je dosi trouver comme dans la question précédente?

Merci