Démonstration et Questions

[invite759c78a5]

Salut tout le monde!


Je suis entrain de lire un livre de Mathématiques, dans lequel il y a une référence à la démonstration de l'infinité des nombres premiers d'Euler, en passant par une somme infini vers un produit de nombres premiers infini. Seulement, il y a juste une référence dans le livre, et impossible de trouver les démonstrations sur internet... Connaissez-vous le nom?
Dans le livre, il est question de corps, d'anneaux, d'idéal; et j'ai rien compris (encore plus sur Wikipédia...). Quelqu'un pourrait bien m'expliquer, ou vous connaissez un site peut-être?
Il y a notamment la notation Z[sqrt(-5)], sqrt(-1) est l'ancienne notation de i, du coup comment se note Z[sqr(-5)] en écriture "moderne"?


Merci
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[0577]

Bonsoir,

sur la page de wikipédia consacrée au théorème d'Euclide sur l'infinité des nombres premiers, il
y a un paragraphe sur la démonstration d'Euler (il faut ajouter les détails pour les questions de
convergence ... mais l'idée y est).

n'est pas une notation ancienne et est parfaitement standard,
elle désigne l'anneau quotient .

[invite759c78a5]

Effectivement, il y a un article consacré dessus sur Wikipédia, mais il ne montre pas l'égalité, ni la convergence...

Pourquoi écrire sqrt(-5) alors qu'on ne peut mettre qu'un réel positif dans une racine (je mets de côté sqrt(i))?
Tu parles d'anneau, mais j'ai pas tellement compris ce que c'est; ni la notation Z[sqrt(-5)]... Si tu pourrais aussi m'expliquer les idéaux, ça serait gentil.


Merci

[inviteaf48d29f]

Bonsoir,

Ce que vous demandez c'est l'équivalent d'un cours entier d'algèbre. Niveau L2, L3 je dirais suivant à quel point vous voulez détailler.

Il ne s'agit pas dans cette notation de parler d'un nombre qui serait √(-5), sinon on écrirait plutôt i√5*, il s'agit simplement d'une abréviation pour dire qu'on quotiente Z[X] par le polynôme X²+5. L'emploi de cette notation s'explique parce que des racines du polynôme X²+5 seraient des racines carrées de de -5.

*Mais ça ne voudrait rien dire ici, on n'est pas de le cadre des nombres complexes. On ne parle ici que d'entiers.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite759c78a5]

Merci de votre réponse!

Pour la démonstration, je n'ai donc qu'à attendre...

il s'agit simplement d'une abréviation pour dire qu'on quotiente Z[X] par le polynôme X²+5. L'emploi de cette notation s'explique parce que des racines du polynôme X²+5 seraient des racines carrées de de -5.

Pourquoi quotiente-t-on Z[X]? Et qu'est-ce que Z[X]? Vu que nous travaillons dans les entiers, il faut que Z[X]/(X²+5) soit entier, c'est ça?

Juste une exemple pour voir si j'ai bien compris :

* Z[√(-11)] désigne l'anneau Z[X]/(X²+11)


Merci.

[0577]

Bonjour,

je reviens sur la démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers.
Il y a de nombreuses façons de rédiger une preuve propre : par exemple,
voir la discussion
http://www.les-mathematiques.net/pho...,253456,253478
sur le forum mathématiques.net et en particulier le message de borde.