Ensemble de Cantor

[sophie931]

bonjour , je suis totalement perdue sur l'ensemble de Cantor
J'ai I l'intervalle [0,1] et
On note qui sont finis est la suite de longueur zéro.
Pour tout net tout dans on pose

1) Présenter sur le même dessin les pour tout a dans l'union de
2) Montrer que l'application est bijective
3) Montrer que les sont deux à deux disjoints

pour 1), j'ai trouvé et pour le dernier ]1/27,2/27[ ou ]7/27,8/27[ ou ]19/27,20/27[ ou ]25/27,26/27[

pour le 2) Pour la surjectivité c'est juste par définition de l'application vu que tout élément à un antécédent, pour l'injectivité je suppose qu'on peut pas utiliser le noyau dans ce cas la si? Du coup j'ai un peu de mal à montrer que deux éléments égaux à l'arrivé ont le même antécédent

pour le 3, je veux faire par récurrence avec le calcul de la 1) on voit que l'initialisation est bonne puis je suppose que est disjoints de mais je n'arrive pas à montrer que c'est vrai au rang suivant...
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[sophie931]

finalement j'ai réussi la 3) il me manque toujours l'injectivité puis après on me dis de montrer que je veux le faire par double inclusion mais impossible de voir la méthode

[inviteea16dac2]

salut,

pour l'injectivité tu majores la différences a partir du premier k qui différe : , donc quand tu tronques tu as l'essentiel (strictement) d'où l'injectivité.

Remarque :C'est la même que l'écriture sur une base de 3 : si à 0.1212112212.... tu changes des chiffres ta plus le même réel, modulo le problème de choix du type 0.0022222222222...=0.01 qui est cependant exclu pour ton application (car ici tu peux pas avoir de 1 dans le développement !).

[sophie931]

ah ok c'est bon, j'ai réussie à montrer que et que mais dans le sens inverse je vois pas, si je prend un x dans cette intersection je vois pas pourquoi il serait dans C

[A voir en vidéo sur Futura]

[sophie931]

personne ne peut m'aider? je comprend pas comment je peux prouver que si je prend un élement dans l'intersection alors il est dans C