Limite d'une suite

5nicolas · 08/01/2006 - 13h34

Bonjour,
nous avons étudier les suites mathématique en cours l'autre jour. Mais je n'ai pas compris la différence entre les bornes d'une suite et la limite... si qqu pourrait m'expliquer clairement cette différence ca m'aiderait beaucoup!
Merci d'avance

erik · 08/01/2006 - 14h02

Prenons par exemple la suite $U_n=(-1)^n$

Pour n pair on a $U_n=1$ et Pour n pair on a $U_n=-1$ , c'est donc une suite qui n'admet pas de limite, elle oscille entre -1 et 1.

Par contre c'est une suite bornée : $\forall n \in \mathbb{N}$ $-1\leq U_n \leq 1$
Est ce que tu comprends mieux ? Une suite bornée n'admet pas obligatoirement une limite, tout ce que l'on peut dire c'est quelle a un majorant et un minorant.

La limite d'une suite (quand elle existe) est la valeur vers laquelle s'approche $U_n$ quand n s'approche de l'infini. Par exemple la limite de la suite $U_n=\frac{1}{n}$ est zéro (plus n devient grand plus $U_n$ s'approche de 0.

nissart7831 · 08/01/2006 - 14h56

Envoyé par erik

Prenons par exemple la suite $U_n=(-1)^n$
Pour n pair on a $U_n=1$ et Pour n pair on a $U_n=-1$ , c'est donc une suite qui n'admet pas de limite, elle oscille entre -1 et 1.

Bonjour,
juste une petite correction, qui ne change pas le reste de l'exposé de erik.
Dans le message ci-dessous, à la place du 2ème pair, il faut bien sûr lire impair (ah! maudit copier/coller).

Envoyé par erik

Prenons par exemple la suite $U_n=(-1)^n$
Pour n pair on a $U_n=1$ et Pour n pair on a $U_n=-1$ , c'est donc une suite qui n'admet pas de limite, elle oscille entre -1 et 1.

5nicolas · 08/01/2006 - 15h05

Merci pour ta réponse. Mais j'ai encore une question: Une suite majorée, minorée ou bornée peut-elle posséder une limite? si oui est-ce que celle-ci est le mojorant ou le minorant?

nissart7831 · 08/01/2006 - 15h12

Oui,

par exemple, une suite strictement croissante (respectivement décroissante) et majorée (respectivement minorée) admet une limite qui est le plus petit des majorants (respectivement le plus grand des minorants).

erik · 08/01/2006 - 15h13

Une suite majorée, minorée ou bornée peut-elle posséder une limite?

La réponse est oui, par exemple $U_n=\frac{1}{n}$ est minorée par 0 et admet 0 comme limite (mais n'importe quel nombre inférieur ou égal à 0 est aussi un minorant de cette suite).

si oui est-ce que celle-ci est le mojorant ou le minorant?

Non pas obligatoirement, tout ce que l'on peut dire c'est que la limite (si elle existe) d'une suite bornée est supérieur ou égal au minorant et inférieure ou égale au majorant.

PS : le message de nissart7831 est également parfaitement exact

5nicolas · 08/01/2006 - 15h15

ok merci... et dernière question: comment on fait pour trouver la limite d'une suite?

matthias · 08/01/2006 - 15h17

On peut aussi dire que toute suite convergente (admettant une limite) est bornée.

matthias · 08/01/2006 - 15h18

Envoyé par 5nicolas

comment on fait pour trouver la limite d'une suite?

Ca dépend de la suite, ce n'est pas forcément facile.

erik · 08/01/2006 - 15h24

comment on fait pour trouver la limite d'une suite?

Il n'y'a pas de "recette universelle", mais tu verras dans ton cours quelques règles qui fillent un coup de main, par exemple :
si U a comme limite a et V comme limite b alors
U+V a comme limite a+b
U/v a comme limite a/b (Si b est différent de 0)
U*V a comme limite a*b