Algebre lineaire

[invite1d5994c9]

Bonjour,

Alors voilà j'ai quelques problèmes pour résoudre un exercice d'algèbre linaire.

Soit E et F deux espaces vectoriels complexes de dimensions finies respectives r et n. On se donne u dans L(E,F) injective. Soit v dans L(F,E), on note w=IdF-uov

Montrer que rg(w) = n-r ssi vou=IdE


Bon alors je sais qu'il faut que je montre un sens, puis le deuxième.
Donc j'ai dis que rg(w)=n-r= dim F - dim E et rg(w) = dim Im w or w= IdF- uov

Mais après je ne vois vraiment plus par ou passer, deja je ne vois pas si etre dans les complexes ça change quelque chose ou raisonnement ou pas.

Si quelqu'un pouvait m'aider un petit s'il vous plait.

Merci de votre attention, et de votre aide, bonne journée .
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[Seirios]

Bonjour,

Deux indices : penser au théorème du rang, et utiliser l'injectivité de u pour relier les noyaux de uov et v.

[invite1d5994c9]

Alors comme j'ai u injective j'ai que dimKer u = 0 donc rg(u) = dim E =r

Mais comment on caractérise le rang de l'identité ?
Et, si vou=IdE est ce que ça nous donc que v est la réciproque de u ? et que v est injective ?

[Seirios]

Tu ne suis pas l'indication que je t'ai donnée : utiliser l'injectivité de u pour relier les noyaux de uov et v.

[A voir en vidéo sur Futura]