Comment être sur que nos maths sont correctes ?

[Dameefer]

Bonjour,

Je voulais savoir s'il y'a un moyen de démontrer que tout les maths dont on dispose aujourd'hui sont fondamentalement corrects ? Car je crois qu'une base de ces maths reposent sur des axiomes non ?

Merci de vos réponses
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[yootenhaiem]

Bonsoir,

A mon avis, aussi modeste soit-il,je ne pense pas que le mot maths soit convenable pour ta question. Mais il y'a de l’algèbre linéaire, analyse, géométrie, algèbre générale,... Et dans chaque domaine on peut trouver des notions qui sont nouvelles, des conjectures et des postulats mais on ne les utilise que pour démontrer des choses assez lourdes: conjecture de Poincaré, P=NP, les problèmes pas encore résolus,etc. Mais ne t’inquiète pas, on ne viendra pas te dire un jour qu'on a trouve un contre exemple a Pythagore...

[Dameefer]

Ah, oui je vois ce que tu veut dire

Effectivement j'aurais dut prendre un autre mot que "maths" pour ma question ^^

[Médiat]

Bonjour

Je voulais savoir s'il y'a un moyen de démontrer que tout les maths dont on dispose aujourd'hui sont fondamentalement corrects ? Car je crois qu'une base de ces maths reposent sur des axiomes non ?

Que voulez-vous dire par "fondamentalement correctes" ?

Quel est le problème avec les axiomes ?

Sur quoi repose(rait) des mathématiques ne se reposant pas sur des axiomes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dameefer]

La définition d'axiomes est : désigne une vérité indémontrable qui doit être admise.
Comment on peut être sur que celle ci est vrai si on ne peut pas la démontrée ?

[Médiat]

La définition d'axiomes est : désigne une vérité indémontrable qui doit être admise.
Comment on peut être sur que celle ci est vrai si on ne peut pas la démontrée ?

Votre définition a 2500 ans, il y a peu j'ai répondu de la façon suivante sur la définition d'un axiome :

La réponse la plus juste, et la plus inutile, est de dire qu'un axiome est une formule qui appartient à une axiomatique.

Reste à dire ce qu'est une axiomatique : c'est un ensemble d'axiomes ! Non, je plaisante

Une axiomatique d'une théorie T est un ensemble de formules qui génère T par application des règles d'inférence.

Une théorie c'est un ensemble de formules, clos par application des règles d'inférence.

En tout état de cause, la notion du "vrai" ne se pose pas au mathématicien.

[gg0]

Bonjour Dameefer.

Comment être sûr que nos axiomes sont vrais ? On ne peut pas, sauf d'une façon artificielle, qu'a exprimée Médiat : Ils sont vrais parce qu'on les pose pour vrais.
Mais si, par vrai, tu veux dire "correspondant à la réalité", ça devient plus délicat. Déjà, il faut définir ce qu'est la réalité. La réalité immédiate n'est pas très mathématique. Les parties mathématisées de la physique, par exemple, sont extraites de la réalité par des transformations déjà mathématiques.
En fait, l'usage concret des mathématiques est plutôt à l'inverse : On cherche quel modèle mathématisé s'adapte bien à ce qu'on est capable de mesurer.
Quant à la certitude absolue, il ne faut pas rêver : Es-tu vraiment sûr que le soleil se lèvera demain matin ?

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Personnellement, j'ai une approche légèrement différente, je vais l'exposer par une image.
Le roi demande à Archimède de trouver le moyen de savoir si son orfèvre l'a roulé ou pas.
On sait comment il a trouvé, mais il a besoin d'outils mathématiques pour faire ses calculs. Alors il va voir son copain Pythagore pour l'aider.
Comme ce sujet intéresse Pythagore, il en profite pour créer une ensemble cohérent d'outils, dont l'utilisation dépasse largement les besoins d'Archimède, lui-même n'en a pas besoin non plus.

A l'époque où on utilisait encore les règles à calcul, on racontait cette blague : "Combien font deux fois trois ?", la réponse du physicien, "ça fait à peu près six." A noter que cette blague est beaucoup moins innocente qu'elle n'en a l'ai, on pourrait la réécrire dans un contexte informatique, et là, il y a des chances que ce soient les mathématiciens (qui font de l'informatique) qui auraient faux.

[Dameefer]

Merci de vos réponse

Pour la définition d'axiomes, tu dit qu'elle date de 2500 ans, mais c'est celle que l'on trouve sur wikipédia ou dans les dictionnaire

[toothpick-charlie]

je nuancerais ce qu'a écrit Médiat : certains mathématiciens accordent un sens à la vérité mais c'est une position philosophique voir psychologique, elle n'influe pas leur façon de faire des mathématiques.

sinon, il y aurait un sens plus intéressant à donner au titre de ce fil : comment prouver qu'une preuve est correcte? est-ce possible d'automatiser la vérification d'une preuve?

[Médiat]

Voue ne lisez pas tout :

En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique ou théorie axiomatique. Cette axiomatique doit être non contradictoire ; c'est sa seule contrainte

Et encore la formulation "vérité première", même si la précision "à l'intérieur d'une théorie" la corrige un peu, est extrêmement mal adaptée. Je préfère la définition que j'ai déjà donnée "Une axiomatique est une famille génératrice d'une théorie".

[Médiat]

je nuancerais ce qu'a écrit Médiat : certains mathématiciens accordent un sens à la vérité mais c'est une position philosophique voir psychologique, elle n'influe pas leur façon de faire des mathématiques.

Vous avez raison, je suis un formaliste compulsif

Mais vous avez dit l'essentiel auquel j'agrée à 100% (je l'ai même déjà écrit ici) : "elle n'influe pas leur façon de faire des mathématiques".

[Dameefer]

Voue ne lisez pas tout :



Et encore la formulation "vérité première", même si la précision "à l'intérieur d'une théorie" la corrige un peu, est extrêmement mal adaptée. Je préfère la définition que j'ai déjà donnée "Une axiomatique est une famille génératrice d'une théorie".

Effectivement j'avais zappé ce passage

En tout cas ça m'est déjà arrivé de tombé sur des gens qui, lorsque l'on discutait par exemples des science, imposaient leur opinions comme quoi la relativité général n'était pas quelque chose que l'on peut affirmé véridique .

Je vous avoue qu'après ça je lui ai proposer de jouer un babyfoot car je ne savais pas quoi lui répondre

[leon1789]

En fait, l'usage concret des mathématiques est plutôt à l'inverse : On cherche quel modèle mathématisé s'adapte bien à ce qu'on est capable de mesurer.
Quant à la certitude absolue, il ne faut pas rêver : Es-tu vraiment sûr que le soleil se lèvera demain matin ?

Je suis du même avis : on cherche quel modèle mathématisé s'adapte bien (les maths sont extrêmement vastes !),
le rôle des mathématiciens étant de développer des modèles (même si ceux-ci n'ont pas d'applications concrètes à l'instant T).

Mais on peut être tout même très étonné par certains résultats mathématiques usuels et leur lien éventuel avec une réalité :
paradoxe de Banach-Tarsky http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski (duplication gratuite d'un petit pain, c'est tout de même choquant si on pense que l'ensemble des maths modélise le monde qui nous entoure)
ou simplement un résultat du genre "tout polynôme à coefficients dans un corps quelconque se factorise en produit de polynômes irréductibles" (alors qu'il n'y a aucune implémentation informatique aussi générale...)

[leon1789]

sinon, il y aurait un sens plus intéressant à donner au titre de ce fil : comment prouver qu'une preuve est correcte? est-ce possible d'automatiser la vérification d'une preuve?

C'est une vraie question en effet. Tu penses à des outils comme COQ ?

[leon1789]

En tout cas ça m'est déjà arrivé de tombé sur des gens qui, lorsque l'on discutait par exemples des science, imposaient leur opinions comme quoi la relativité général n'était pas quelque chose que l'on peut affirmé véridique.

Effectivement, comment pourrait-on l'affirmer véridique ? Il me semble que nous n'avons que des confirmations qu'elle n'est pas délirante, et à défaut de "mieux", nous l'utilisons en l'améliorant petit à petit. Non ?

[Dlzlogic]

Es-tu vraiment sûr que le soleil se lèvera demain matin ?

Oui, j'en suis sûr, parce que si ce n'était pas vrai, personne ne serait là pour me le dire.

[Amanuensis]

En tout cas ça m'est déjà arrivé de tombé sur des gens qui, lorsque l'on discutait par exemples des science, imposaient leur opinions comme quoi la relativité général n'était pas quelque chose que l'on peut affirmé véridique .

Il faut distinguer les maths et les autres sciences. Les maths se donnent leurs propres règles du jeu, les autres sciences cherchent des règles en observant un jeu.

Aucune théorie physique (par exemple) ne peut être présentée comme véridique, il n'y a pas d'arbitre confirmant qu'on a compris correctement toutes les règles. Ce qu'est la connaissance physique n'est pas simple, ne peut pas se réduire à une notion de "vérité" ; de nombreux penseurs (philosophes) ont cherché à cerner la question, c'est le domaine de l'épistémologie.

[Dameefer]

Intéressant comme débat en tout cas .
Mais même si celà tient de la philosophie, à un moment ou un autre celà à son impact dans les science ^^
Je me souviens y'a 2 ans quand on avait annoncé que des neutrinos avait dépassé la vitesse de la lumière . Tout le monde croyais à une révolution physique ( normalement rien ne dépasse la vitesse de la lumière ). Heureusement il s'est avéré que c'était une erreur de mesure .

En tout cas sur le coup le doute était installé et nos théories semblaient moins intangibles .

[Amanuensis]

IJe me souviens y'a 2 ans quand on avait annoncé que des neutrinos avait dépassé la vitesse de la lumière . Tout le monde croyais à une révolution physique

Tout le monde ? Vous n'avez suivi l'affaire que de manière superficielle, via la grande presse, toujours avide de sensations.

En tout cas sur le coup le doute était installé et nos théories semblaient moins intangibles .

Le doute était là avant, et est resté après. Le doute est un élément de base de la science! Une partie importante des chercheurs cherchent des résultats imprévus, mal prévus dans les théories courantes. Vous pensez vraiment qu'ils feraient cela s'ils pensaient les théories intangibles ???

A contrario, dans les domaines avec des dogmes intangibles comme les religions, vous les voyez faire des recherches pour tenter de réfuter ces dogmes ?

[Dameefer]

Vous avez raison ^^

Justement j'ai créer ce sujet pour débâtre et comme je le pensais, j'ai pas la bonne vision des choses
Mais celà va changé maintenant ^^

[Médiat]

J'ai noté que vous n'aviez pas répondu aux questions suivantes, je suppose que c'est essentiellement parce que ces notions ne sont pas claires pour vous, tant qu'elles ne le seront pas pour vous il sera difficile de vous répondre avec précision, mais peut-être que les réponses déjà donnée ont infléchi vos réflexions ...

Que voulez-vous dire par "fondamentalement correctes" ?

Quel est le problème avec les axiomes ?

Sur quoi repose(rait) des mathématiques ne se reposant pas sur des axiomes ?

[Dameefer]

1) ce que je voulais dire par là c'est fondamentalement démontrable : On est sur que toute les théories des maths sont justes et vérifiables . Or ce n'est pas le cas.
2) Bah c'est justement que ça reposerait selon la def' d'axiome que l'on trouve à peu partout, sur des base admises tel quel et non démontrable ^^
3) Cela pourrait reposé sur des équations formelles ?

Enfin c'est possible que mes réponses vous paraissent extravagantes, mais je ne suis pas à l'aise dans ces réflexions assez profondes ^^

[Médiat]

1) ce que je voulais dire par là c'est fondamentalement démontrable : On est sur que toute les théories des maths sont justes et vérifiables . Or ce n'est pas le cas.

Désolé, mais je ne comprends pas, les deux parties en gras étant contradictoires

2) Bah c'est justement que ça reposerait selon la def' d'axiome que l'on trouve à peu partout, sur des base admises tel quel et non démontrable ^^

A partir de quoi pensez-vous que l'on démontre quelque chose en mathématique ?

3) Cela pourrait reposé sur des équations formelles ?

Qu'entendez-vous par là ?

[Dameefer]

2) Oui on se sert des axiomes pour démontrer des autres théories, mais on ne démontre pas l'axiome en lui même ^^

Pour les autres questions je ne peut pas mieux m’expliquer désolé

[Médiat]

2) Oui on se sert des axiomes pour démontrer des autres théories, mais on ne démontre pas l'axiome en lui même

On se sert des axiomes pour démontrer les théorèmes d'une théorie. En particulier les axiomes d'une théorie sont des théorèmes de celle-ci (si A est un axiome, comme A=>A, alors A est un théorème ; vous remarquerez que je viens de montrer que les axiomes d'une théorie sont démontrables dans cette théorie).

[Dameefer]

Ah, je ne voyais pas la chose comme ça ^^

[EauPure]

3) Cela pourrait reposé sur des équations formelles ?

Bonjour,

f(x)=y est il un axiome formel ou un critère de sélection ?

[Médiat]

Bonjour,

f(x)=y est il un axiome formel ou un critère de sélection ?

En fait, c'est ... juste des signes juxtaposées.

[EauPure]

Pour moi si c'est un axiome
il existe une fonction f qui pour tout x fait correspondre un y
Il est faut, car pour la fonction f telle que f(x)=f(x) il n'y a pas de y parce qu’elle boucle à l'infini,
Alors il ne peut être un axiome