exponentielle

[Snowey]

Bonjour, dans un TD nous avons montré que .
Quitte à réduite (par les expaces caractéristiques, voire par Jordan) on se ramène au cas où N est nilpotente, et on cherche à trouver une matrice dont elle est l'exponentielle pour conclure à la surjectivité.
Et là, on utilise les DL de l'exponentielle et du logarithme en 0 et 1 pour montrer que, si et , alors .
Question idiote: est-ce évident par composition des DL par exemple ?

Puis on l'applique, en remarquant que le petit o est un polynôme, aux matrices: puis comme est nilpotente (premier terme en X donc N) on a .

Est-ce une astuce ou une méthode ? Je ne suis pas certain d'être capable de l'adapter dans beaucoup d'autres cas, la seule méthode que j'y trouve est l'écriture tautologique .

Merci d'avance à vous.
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[Seirios]

Bonsoir,

Est-ce une astuce ou une méthode ? Je ne suis pas certain d'être capable de l'adapter dans beaucoup d'autres cas, la seule méthode que j'y trouve est l'écriture tautologique .

L'écriture tautologique que si l'on définit le logarithme comme la réciproque de l'exponentielle. C'est ce que l'on fait parfois sur les réels, mais sur les matrices, cela pose des problèmes ; donc on définit l'exponentielle et le logarithme chacun de son côté, puis on vérifie qu'elles sont bien "réciproques" l'une de l'autre (dans un certain sens, puisque l'exponentielle matricielle n'est pas injective sur les complexes).

D'ailleurs, le passage des complexes vers les matrices dans la composition des et ne paraît pas très clair.

[Snowey]

Elle ne me choque pas vraiment, si on montre que l'expression P•Q est bien celle proposée, ce qui ne me paraît pas si évident (mais je n'ai que tes rarement étudié de près des compositions d'équivalent jusqu'à l'ordre n)

[0577]

Bonjour,

sur la méthode : on montre que

(*) l'exponentielle réalise une bijection de l'ensemble des
matrices nilpotentes vers l'ensemble des matrices unipotentes (Id + nilpotent) (ce qui est assez utile).

exp d'une matrice nilpotente étant en fait un polynôme à coefficients rationnels,
c'est défini (et (*) est vrai) sur tout corps de caractéristique 0.

Pour prouver (*), il suffit de trouver un inverse pour exp. On définit log(Id +N) par
la série usuelle qui est en fait un polynôme puisque N est nilpotent.

Il reste à vérifier que exp(log(Id+N))= Id +N et log(exp(N))=N. Il s'agit de composés de polynômes donc
d'égalités formelles et si on veut on peut en effet dire qu'il suffit de vérifier la composition des développements en série
tronqués des fonctions exp et log usuelles sur les complexes où on peut considérer que c'est bien connu.
On peut essayer de calculer directement les composées à l'aide des formules explicites mais ce ne doit
pas être très joli.
Si on veut rester purement algébrique (= sans passer par les complexes) tout en ne faisant pas beaucoup de calculs,
une solution efficace est de dériver (on a des polynômes, ce qui a bien un sens et il est évident sur les formules
que exp et log ont leurs propriétés usuelles vis à vis de la dérivation). On en déduit facilement que la dérivée de log(exp(N))
est 1 et la dérivée seconde de exp(log(Id+N)) est 0.

[A voir en vidéo sur Futura]