Méthode de Newton et suites

[Dlzlogic]

Bonjour,

Il est courant en informatique de devoir calculer une valeur numérique d'une relation quelque fois compliquée.
Cette méthode est utilisée indépendamment de l'informatique et dans certaines professions, elle est connue sous le nom de "méthode du point approché". Le principe est très simple, par un moyen quelconque on défini un point approché du point définitif (je parle de point, puisqu'il s'agit de géométrie), par des calculs simples, on calcule les écarts dus au choix de ce point, on fait une figure à plus grande échelle, on reporte graphiquement les écarts calculés, ce qui permet de calculer le point définitif.

Dans son principe, la méthode de Newton n'est pas très différente, à partir d'une valeur approchée de l'inconnue, on assimile la courbe représentative à sa tangente en ce point. Le point cherché sur la courbe est très proche du point de même abscisse situé sur la tangente, il est facile de calculer cette abscisse qui deviendra la nouvelle valeur approchée.
D'après les utilisations de cette méthode que j'ai pu faire, j'ai constaté que la difficulté principale consiste à trouver de quelle façon on va choisir ce nouveau point approché.
Ma question est donc : éventuellement sous certaines conditions, peut-on trouver une suite, calculée à partir de la dérivée, et par une méthode unique et générale, et être sûr qu'elle converge ?
On admet naturellement que la solution cherchée n'est pas au voisinage d'un point singulier.
Restera le problème de la détermination de la valeur approchée de départ.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

La réponse est oui, il y a bien des conditions pour obtenir une convergence certaine de la méthode de Newton. Vous avez les détails à: https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...on#Convergence

[Dlzlogic]

Oui, ça c'est c'est le lien donné par Léon.
Sauf erreur, cet article ne fait aucune référence aux suites.
La méthode de Newton, je connais, c'est la liaison Newton -> Suites qui me pose problème.

[Médiat]

Sur l'article que l'on vous a déjà donné deux fois, je lis :

Formellement, on part d'un point x₀ appartenant à l'ensemble de définition de la fonction et on construit par récurrence la suite : ...

C'est le principe de base de la méthode !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

On peut donc affirmer que cette suite converge toujours. C'est la question que je posais.
Merci, mais lorsque j'aurai l'occasion d'utiliser cette méthode, je continuerai à préférer réfléchir.

[leon1789]

Merci, mais lorsque j'aurai l'occasion d'utiliser cette méthode, je continuerai à préférer réfléchir.

Réfléchir pour poser des questions bien formulées évite de tourner en rond :

On peut donc affirmer que cette suite converge toujours. C'est la question que je posais.

réponse déjà donnée :

il y a des conditions pour obtenir une convergence certaine de la méthode de Newton. Vous avez les détails à: https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...on#Convergence

[Dlzlogic]

Bonjour Léon,
Décidément tu n'en laissera jamais passer une.
Par ailleurs, dans mon esprit, un forum sert surtout à avoir des échanges. J'ose poser des questions, c'est parce que je me remets en question continuellement, quand j'ai comme réponse un lien sur WikiMachin, je vais juste jeter un coup d'oeil, j'ai eu trop d'ennuis avec ça, donc, c'est généralement un coup pour rien, surtout si y'a pas d'autre explication.
Depuis que j'utilise cette méthode, je sais bien qu'il y a des conditions. Ma question portait juste sur le lien Newton<-->Suite.
Tans qu'on y est, le poids minimum pour un petit œuf est 52g.

[leon1789]

quand j'ai comme réponse un lien sur WikiMachin, je vais juste jeter un coup d'oeil, j'ai eu trop d'ennuis avec ça, donc, c'est généralement un coup pour rien, surtout si y'a pas d'autre explication.

Certes Wikimachin ne remplace pas un cours, un livre, un enseignant, mais je trouve que c'est une source intéressante, sur laquelle il faut garder un esprit critique, et pas dédaigneux.

Tans qu'on y est, le poids minimum pour un petit œuf est 52g.

ah... (pourquoi tu parles de cela ?)
Toujours d'après wikimachin, http://fr.wikipedia.org/wiki/%C5%92u...80.99emballage, 52g est le poids maximal (et non minimal) pour un petit oeuf.
La même info sur un site de gouv.fr : http://www.economie.gouv.fr/dgccrf/P...tage-des-oeufs

[invite4842e1dc]

Salut Dlzlogic

Depuis environ 1 an , j'utilise "Wikimachin" pour essayer de comprendre et d'apprendre les mathématiques :

"ET c'est , suite à l'aide que cela m'a apportée , une source d'information qui est de très bonne qualité"


Je ne comprends pas quels sont les ennuis que tu as rencontré suite à la lecture d'explications de sujets mathématiques sur ce site ?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Bien que cette question soit un peu, voire plutôt hors-sujet, je vais y répondre.
D'abord, si tu utilises Wikimachin pour comprendre et apprendre les maths, c'est plutôt embêtant, il y a des facultés, des bouquins pour ça. Wikimachin est une encyclopédie de vulgarisation.

Les réactions que je reçois sont plutôt du type "il faut savoir garder l'esprit critique".

J'ai rencontré 2 types d'ennuis, soit des réponses du genre "Wiki a dit ça, donc tu as tort". C'est assez vexant mais surtout celui dit ça est sûr de partir sur une fausse piste.

Le second est plus compliqué : je devais utiliser un certain type de fichier. Les données correspondaient à des choses que je connaissais, mais comme j'ai l'habitude me remettre en question et de toujours vérifier, je suis allé voir chez Wiki. Il y avait la version anglaise et la française, légèrement différentes, mais pas sur le fond. Ca ne correspondait pas exactement à ce que je croyais, mais comme les hypothèses exactes du fichier n'étaient pas précisées, je ne pouvais pas avoir de certitudes. Parallèlement, j'ai demandé confirmation sur un certain forum (pas celui-ci), pas de réponses.
Bref, j'ai faits les calculs en fonction de cela. Au bout de 3 semaines, n'arrivant à rien de bon, j'ai appliqué ce que je connaissais et non ce qu'expliquait Wiki. Au bout d'une petite journée, le problème était réglé.
Sur ce même sujet, j'ai lu dans une Newsletter un article qui disait en gros "Enfin l'article français et l'anglais sont d'accord".
Conclusion finale : tout dernièrement, donc, plusieurs années après, l'explication est toujours aussi fausse.

Si tu veux voir un truc simple, fais une recherche sur le mot "géoïde" et explique moi ce que tu en as compris.

[leon1789]

Hum, je ne suis pas du même avis. Affirmer toujours les mêmes erreurs évidentes en refusant invariablement de comprendre ce qu'expliquent les autres intervenants, n'est pas une preuve de remise en question. Cela dit, en maths (comme dans toute autre discipline technique), c'est effectivement brimant et vexant de ne pas savoir s'exprimer dans le langage commun, et du coup de faire difficilement passer son savoir et ses idées, les plus élémentaires soient elles. Le plus ennuyeux est surtout de ne pas comprendre les propos des autres intervenants. D'où la nécessité de faire l'effort de parler le langage commun. Enfin, dans un forum, à moins que l'on veuille écrire des messages encyclopédiques (ce qui peut avoir son intérêt pédagogique, certes, mais qui demande un sacré investissement), il est important de donner des références que chacun peut consulter facilement car la transmission du savoir se fait beaucoup par l'écrit, qui donne le temps de réflexion. C'est pour cela que les gens disent "c'est incorrect : regarder par exemple sur wiki pour apprendre les définitions et les théorèmes". Mais d'autres références que wiki sont évidemment possible, et même souhaitables ! Le problème reste de savoir juger les références données, savoir garder un esprit critique mais ouvert, comme on dit.

[Dlzlogic]

Comme d'habitude je me fie à ta sagesse et ton expérience.
Donc fini pour moi.

[leon1789]

Mais d'autres références que wiki sont évidemment possible, et même souhaitables !

Hum, j'ai été équivoque sur cette phrase... Je précise que, en écrivant "d'autres références sont souhaitables", je pensais au bienfait de la pluralité des références, et non au fait que wikipédia était une mauvaise référence. Pour moi, il est clair que wikipédia est une source très intéressante, par le contenu de ses pages (contenu assez fiable, mais pas sans faille, ok) et aussi pour la commodité d'utilisation (beaucoup de liens hypertextes par exemple) et par son universalité (qui tombe parfois dans une certaine vulgarisation, certes, mais c'est déjà un bon début).

[invite76543456789]

Bonjour,

Si tu veux voir un truc simple, fais une recherche sur le mot "géoïde" et explique moi ce que tu en as compris.

Je dois avouer que je comprend pas trop l'exemple choisi.
Qu'est ce qui ne va pas avec l'article géoïde sur wiki? Je suis allé le voir, je le trouve tres bien, et tres compréhensible.

[Dlzlogic]

Oh oui, il est très compréhensible, mais dites moi ce que vous avez compris, c'est quoi le géoide, à quoi il sert, sans répéter tout l'article.

[Médiat]

Ayant eu le même sentiment que MissPacMan sur le sujet, je réponds :

Un géoïde est une représentation de la surface terrestre qui correspond à une équipotentielle du champ de gravité terrestre, choisie de manière à coller au plus près à la « surface réelle ».

Le géoïde, étant une surface équipotentielle de pesanteur particulière, il sert de zéro de référence pour les mesures précises d'altitude

[invite76543456789]

Bah, le géoide c'est une surface équipotentielle du potentiel newtonnien, de "pesanteur" constante donc.
Il épouse mieux la forme réelle de la terre qu'un éllipsoide.
On prend un point référence où g vaut g_0, et le géoide est la surface dans l'espace d'equation g=g_0.
A quoi il sert?
Il permet d'avoir une image plus fidèle de la surface de la terre qui prend en compte des inhomogénéité locales, ce qui est interessant pour un tas d'activités pratiques apparement.

[Dlzlogic]

Bon, alors, la définition du géoïde est celle-ci :
Le géoïde est la surface en tout point normale à la direction du fil à plomb.
La surface des mers et océans en équilibre et au repos appartiennent à cette surface.
Il n'y a aucune notion de gravimétrie dans cette notion, ni même de relation avec la gravimétrie.
Le géoïde est une surface très mal connue, mais jusqu'à l'époque (pas tellement lointaine) où la seule référence était la verticale du lieu, le géoïde était la seule référence.
On connait maintenant deux méthode de mesure supplémentaire : la base constituée par les satellites et les mesures gravimétriques.

Quand à son utilité, elle est nulle, pour la bonne raison que c'est une surface constatée et que toute mesures basées sur la verticale y fait référence, parce que c'est la verticale.

Je suppose que c'est un terme que des gens ont trouvé joli et ont construit tout un article autour de lui.
En d'autres termes, si on admet maintenant que toutes les mesures sont faites à partir d'observations GPS et gravimétriques, on peut complètement oublier qu'il existe un géoïde.

Mais bien sûr, on va dire que j'ai tort, puisque c'est écrit dans Wiki.

[invite76543456789]

Bon, alors, la définition du géoïde est celle-ci :
Le géoïde est la surface en tout point normale à la direction du fil à plomb.

Cette définition n'a aucun sens. C'est quoi "la" surface normale à une droite, il y en a une infinité.
D'autre part si on précise un peu votre définition pour la rendre correcte (c'est à dire ayant du sens), alors on retombe pile poil sur la définition proposée par wiki, une surface equipotentielle (pour le potentiel newtonnien) est toujours normale "au fil à plomb" qui indique juste la direction du champ gravitationel en le point, c'est à dire... le gradient du potentiel newtonnien.

[Dlzlogic]

Sous les yeux une définition plus moderne (Jean-Philippe DUFOUR IGN)
"Surface équipotentielle du champ de pesanteur proche du niveau moyen des mers". "Ce n'est pas une surface géométriquement simple".
Pour le reste de la discussion, en particulier sur son utilisation, veuillez vous adresser directement à lui.

[invite76543456789]

Sous les yeux une définition plus moderne (Jean-Philippe DUFOUR IGN)
"Surface équipotentielle du champ de pesanteur proche du niveau moyen des mers". "Ce n'est pas une surface géométriquement simple".
Pour le reste de la discussion, en particulier sur son utilisation, veuillez vous adresser directement à lui.

C'est la définition de wiki.

[leon1789]

Quand à son utilité, elle est nulle, pour la bonne raison que c'est une surface constatée et que toute mesures basées sur la verticale y fait référence, parce que c'est la verticale.

Je suppose que c'est un terme que des gens ont trouvé joli et ont construit tout un article autour de lui.
En d'autres termes, si on admet maintenant que toutes les mesures sont faites à partir d'observations GPS et gravimétriques, on peut complètement oublier qu'il existe un géoïde.

pour faire joli... ne sert à rien...

Inventé par les mathématiciens et géodésiens allemands C.F. Gauss et J.B. Listing, le
géoïde est longtemps resté un objet d'études scientifiques. Il est défini comme
l’équipotentielle du champ de pesanteur (W=Wo) correspondant au mieux au niveau moyen
des mers. Il était principalement utilisé pour des recherches sur les références verticales et
le niveau moyen de la mer. Depuis l'apparition des techniques spatiales de positionnement,
et plus particulièrement avec le développement rapide du système GPS, la situation a
radicalement changé: le géoïde est devenu un outil indispensable pour convertir les
hauteurs ou les différences de hauteurs au dessus de l’ellipsoïde issues du GPS en
altitudes ou en différences d’altitudes.

Source : http://geodesie.ign.fr/contenu/fichi...timetrique.pdf

Mais bien sûr, on va dire que j'ai tort, puisque c'est écrit dans Wiki.

... et ce que est écrit dans le document de l'ign ?

[leon1789]

Sous les yeux une définition plus moderne (Jean-Philippe DUFOUR IGN)
(...) veuillez vous adresser directement à lui.

Etait-ce la peine de faire tout ce discours d'aujourd'hui pour conclure comme ça ?

[invite4842e1dc]

Hum, j'ai été équivoque sur cette phrase... Je précise que, en écrivant "d'autres références sont souhaitables", je pensais au bienfait de la pluralité des références, et non au fait que wikipédia était une mauvaise référence. Pour moi, il est clair que wikipédia est une source très intéressante, par le contenu de ses pages (contenu assez fiable, mais pas sans faille, ok) et aussi pour la commodité d'utilisation (beaucoup de liens hypertextes par exemple) et par son universalité (qui tombe parfois dans une certaine vulgarisation, certes, mais c'est déjà un bon début).

Salut Léon

Je suis d'accord avec toi que "Wikimachin" n'est pas la seule source sur internet qui explique les maths
mais c'est très facile d'utilisation et cela permet souvent d'avoir de TRES bonnes explications à des questions de maths....

[Médiat]

Bonjour,

Le HS sur wikipedia a assez duré, les prochaines interventions sur ce sujet, ou sur le géoïde, seront effacées sans préavis.

Médiat, pour la modération.