Bonjour, quel sens trouvez vous à ce que j'ai écrit ici svp, que comprenez-vous ?
y voyez-vous des choses mal expliquées, mal définies ?
Merci.
abréviations :
abs pour valeur absolue,
exp pour la fonction puissance.
€ : symbole d'apartenance.
ssi : si et seulement si.
Sigma : la somme
Notation : pour tous entiers i et j, aij est le coefficient d'une matrice ligne n°i et colonne n°j.
L'objectif ici est de construire un entier D, dont le signe sera significatif...
Soit m un entier impair et I = {-1, 0, 1}.
On définit une relation R sur les coefficients d'une matrice A de taille mXm à coefficients dans I de la façon suivante :
Deux coefficients a et b non nuls de A sont reliés par R ssi ou bien a=b ou bien il existe une suite finie u1, u2... up de coefficients de A, avec p>1, telle que :
u1=a, up=b et pour tout k compris entre 1 et p-1 on ait : si uk=aij et uk+1=akl alors aij=akl et : ou bien (i=k et abs(j-l)=1) ou bien (j=l et abs(i-k)=1)
Pour tout a non nul de A, on note Ga = {b € A tels que aRb}, un tel ensemble est appelé un groupe.
Lorsque p=2, on dit que a et b sont en lien direct.
On montre facilement que R est une relation d'équivalence (donc si aRb alors Ga=Gb)
Enfin pour tout groupe Ga on note L(Ga) = {aij € A tels que aij=0 et : si aij était égal à a alors on aurait aijRa}
On définit une suite (An) de matrices mXm sur I de façon récurrente :
- Ao = matrice nulle à l'exception du choix d'un nombre fini k<m de coefficients qui valent -1. on pose X0=0
- An+1 coïncide avec An à l'exception du choix d'un élément aij de An qui vaut zéro et à qui on attribue la valeur (-1)exp n, sauf si cela implique que An+1=An-1, auquel cas on fait un autre choix.
Si il existe alors a tel que L(Ga) soit vide, alors on incrémente la suite Xn+1 = Xn + Sigma des aij de G(a), puis tous les aij de Ga deviennent nuls.
Lorsque tous les coefficients nuls de An sont tels qu'ils seraient directement liés à 4 coefficients de An si ils prenaient la valeur 1 ou la valeur -1, alors la suite (An) s'arrête. On note A la matrice ainsi obtenue.
Soit n1 le nombre de coefficients nuls de A qui, si ils valaient 1, seraient directement liés à 4 coefficients de A et n2 le nombre de coefficients nuls de A qui, si ils valaient -1 seraient directement liés à 4 coefficients de A.
On considère alors D = n1 - n2 - Xn
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). Il doit donc sûrement exister sur le net des documents décrivant la formalisation/représentation/algorithme.
Envoyé par Deedee81 