approximation de Galerkin, calcul par éléments finis

[invite518b0bc6]

bonjours,

le probleme revient a trouver une fonction U є H10(Ω) verifiant
∫Ω U’V’ dΩ + ∫Ω UV dΩ= ∫Ω XV dΩ pour tt V є H10(Ω)


approximation de Galerkin

H10(Ω) espace de Hilbert

(φ1,...,φn,......) base hilbertienne
U(x)= ∑ Ui*φi(x) i>=0
U(x) ~U(x)N = U(x)= ∑ Ui*φi(x) 0=<i<=N
HN le s.e.v de H engendré par (φ1,...,φn)
UN(x)= ∑ Uj*φj(x) 0=<j<=N
le probleme revient a trouver le reels U1, U2,.....,UN tel que


∑ [∫01φ'iφ'j dx + ∫01φiφj dx] Uj=∫01φix dx


la dernière somme est sur j є [1..n]

donc voila le problème:
je comprend pas le passage au deux dernières lignes

merci d'avance
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[inviteea028771]

En fait pour montrer que l'égalité est vraie pour tout v dans HN, il suffit de montrer qu'elle est vraie pour chaque élément de la base (vu qu'ici c'est linéaire en v).

Donc tu appliques la formule du début à v = phi_i et u = somme des uj phi_j

Ça te donnera une équation pour chaque i, donc au final N équations linéaires à N inconnues (les Uj), et on pourra résoudre le système

[invite518b0bc6]

merci, donc on choisit Vi=phi_i ??

[inviteea028771]

En détaillant un maximum :

Tu pars de la relation suivante :


Ensuite, comme

(1) est équivalent à :


C'est à dire, par linéarité,




Et il est assez simple de voir que (3) est équivalent à :



Et ensuite si tu remplaces u par dans (4), tu as :



Ou encore, par linéarité,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite518b0bc6]

mercii, ça m'a vraiment aidé, merci énormément