différentielle

[369]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide sur une question:
voici l'exo:

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension finie et <,> le produit scalaire
Soit f:E-->E de classe C^1 tel que pour tout x,h dans E <df(x)(h),df(x)(h)>=<h,h>
1) montrer que pour tout x,y dans E ||f(x)-f(y)||<=||x-y||, ca c'est bon
2) montrer que pour tout a dans E il existe un voisinage ouvert U de a tel que soit un C^1 difféomorphisme de U sur f(U)

pour cette question je vais utiliser le théorème d'inversion locale et il faut donc que je montre que Df(x) est un isomorphisme de E sur E
Là ou j'ai un problème c'est pour montrer que Df(x) est bijective, comment faire?


merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Tu sais que Df(x) est une application linéaire de E dans lui-même et que E est de dimension finie. Pour montrer que Df(x) est bijectif, il faut et il suffit de montrer que cette application est injective ce qui est évident compte-tenu de l'égalité que tu as avec les produits scalaires.

[Seirios]

En fait, Df(x) est une isométrie, et une isométrie est toujours injective.