Produit de Cauchy

[taupinaz]

Bonjour,
Aujourd'hui, les séries avec le produit de Cauchy. (S=Somme)
Prenons 2 séries: SUn et SVn.
SU1 = U0+ U1
SV1 = V0 + V1

(Excusez moi pour les notations, ce n'est pas très rigoureux écrit comme ça, mais avec un clavier d'ordi c'est pas évident...)

Si on multiplie bêtement SU1 par SV2 on a (SU1)(SV1)=U0V0 + U0V1 + U1V0 + U1V1
Alors que le produit de Cauchy donne U0V0 + U1V0 + U0V1

Où passe le terme U1V1 ?
Ou alors le produit de Cauchy n'est pas un "vrai produit" au sens classique ?

Merci à vous
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[gg0]

Bonsoir.

"Ou alors le produit de Cauchy n'est pas un "vrai produit" au sens classique ?" Ben non, sinon on l'appellerait produit; tout simplement.
Cependant, pour des séries, il ne manque aucun terme. Le fait de prendre des sommes finies fait apparaître des termes manquants. Mais avec le prolongement indéfini des sommes, le terme manquant n'existe plus.

Fais la même chose (sur ton brouillon en prenant des sommes infinies, tu verras.

Cordialement.

[taupinaz]

Oui, je suis parfaitement d'accord qu'a l'infini, on va retrouver tout ce qu'il nous faut.

Dans mon cours, on a appelé ça "produit de séries", et ça n'a gêné personne, donc je me disais que j'avais raté un truc.

Donc finalement, l'égalité n'est vérifiée qu'a l'infini ?

[gg0]

Elle est vérifiée pour les séries, et pour les polynômes (et sans doute d'autres choses qui correspondent à des suites).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taupinaz]

Merci beaucoup pour ces infos,
Bonne soirée à vous