Carré modulo p

[jules345]

Bonsoir,

Voila j'aimerai avoir vos avis sur un exercice, on me demande de prouver une égalité ensembliste à savoir C(p) = Ker(f)
où C(p)={x², x appartient à Z/pZ*} et f un morphisme de groupe de Z/pZ* vers Z/pZ* tel que f(x)=x^((p-1)/2) où p est un nombre premier impair.

Donc dans un premier temps j'ai pris un élément de C(p) a² on a alors f(a²)=x^(p-1)=1 car le cardinal de Z/pZ* est égal à p-1 donc a² appartient à Ker(f). Donc C(p) est inclus dans Ker(f)

Pour la suite j'ai un peu du mal pour montrer l'inclusion inverse, je prend un élément de Ker(f) x on a alors f(x)=x^((p-1)/2) et là j'ai un peu du mal à avancer...

C'est pourquoi j'ai besoin de votre aide

Merci
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[Jedoniuor]

Bonsoir,
Vous pouvez raisonner de la façon suivante (sauf erreur de ma part). Le groupe (Z/pZ)* est cyclique. Soit b un générateur de ce groupe, qui est donc d'ordre exactement p-1. Votre x tel que x^{p-1)/2=1 est une puissance de b: x=b^k. Comme x^{(p-1)/2}=1, on a b^N=1, avec N=k(p-1)/2, ce qui implique que p-1 divise N (car b est d'ordre p-1), et donc que k est de la forme 2h, h entier. Alors x=b^{2h}=a^2 avec a=b^h.

Cordialement.

[Suite2]

J'aime beaucoup les relations d'équivalence, c'est pourquoije propse de l'aide avec elles.

Soit a un élément non carré de Z/pZ (Démontrer qu'il existe un tel a en posant par exemple l'application qui x -> x^2 et voir que cette application ne peut être bijective). Poser la relation d'équivalence R définie par :
(xRy) ssi (x=y) ou (x=ay^{-1})

1) R est une relation d'équivalence
2) la classe d'un élément x de Z/pZ n'est autre que {x, ax^{-1}}.
3) la classe d'un élément x de Z/pZ possède exactement deux éléments.
4) Théorème de Wilson : le produit de tous les inversible d'un corps de caractéristique non égale à 2 vaut -1. Dans Z/pZ celà donne (p-1)! + 1 = 0 mod(p)
5) En déduire que a ^ {(p-1)/2} = -1

Vous avez démontré que : si a est un carré alors a ^ {(p-1)/2} = 1. Déduire la réciproque, puis conclure votre exercie!

[Suite2]

Bonsoir,
on a b^N=1, avec N=k(p-1)/2, ce qui implique que p-1 divise N (car b est d'ordre p-1), et donc que k est de la forme 2h, h entier.

/!\ Attention /!\ on a Ceci n'implque pas du tout du tout que . Il faut faire attention au fait que l'aritmétique de Z ne suppose pas construite celle de Q.. Ainsi il y a non sens dans l'utilisation de la théorie de l'arithmétique de Z dans celle de Q...

Désolé mais je crois que la réponse manque de détails..

[A voir en vidéo sur Futura]