Méthode des éléments finis

[Morghot]

Bonsoir,

On a juste vu la méthode des éléments finis. On l'a appliqué sur l'équation des plaques sur avec conditions limites de Neumann et Dirichlet. On discrétise l'intervalle tel que : et avec la longueur de chaque intervalle égale à . La méthode P3-Hermite a parfaitement fonctionnée mais celle P2-Lagrange ne donnait rien (matrice non inversible). Là vient ma question : comment déterminer la dimension de l'espace approximation de (notre espace de Hilbert où il y a unicité de la solution déduit avec Lax-Milgram). pour l'équation des plaques. Pour moi, l'espace n'est pas trop compliqué à écrire (fonctions continues dont la restriction à chaque élément du maillage est un polynôme de degré différents selon P1, P2 ou P3 et l'imposition des conditions aux limites). Pour P3-Hermite par exemple :

où désigne l'ensemble des polynômes de degré au plus 3 et sont les segments du maillage

J'ai lu que donc c'est plus facile mais dans le cas de P2-Lagrange par exemple : quelle est la dimension de ?

De plus les fonctions de bases ne dépende que de la méthode utilisée (P1, P2, P3 Lagrange ou Hermite, etc...) et du maillage donc pas de l'équation ? Ainsi elles ont toutes la même tête peu importe l'équation ? Il reste à adapter sur le bords suivant les conditions aux limites ?

Merci d'avance de vos réponses.

Cordialement.
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[Tryss]

Le plus simple pour toute ces questions de dimensions est de raisonner maille par maille (ou, encore plus simple, sur les fonctions de base, encore faut-il les avoir).

Par exemple, pour les éléments finis P2 en dimension 1, en supposant donné, il y a deux degrés de liberté sur la maille [xi,xi+1] :



Donc, dans ton cas, il y a 2n degrés de libertés sur les mailles intérieures, et 1 degré de liberté sur la première maille (la condition f(0)=f'(0)=0 dit que f(x) = ax² sur la première maille, ce qui va donner la valeur en ), et la dernière maille est entièrement déterminée par la valeur en f(x_n) et la condition f(1)=f'(1)=0.

Donc au total il y a 2n+1 degrés de libertés (= dimension) pour les éléments P2 de Lagrange avec ces conditions de bord.

De plus les fonctions de bases ne dépende que de la méthode utilisée (P1, P2, P3 Lagrange ou Hermite, etc...) et du maillage donc pas de l'équation ? Ainsi elles ont toutes la même tête peu importe l'équation ? Il reste à adapter sur le bords suivant les conditions aux limites ?

Oui, les espaces de discrétisation ne dépendent pas vraiment de l'équation (on va dire que c'est le choix de tel ou tel espace classique qui va dépendre de l'équaiton)

[Morghot]

Ok ! Un grand merci !
Je comprends au moins avec P2-Lagrange. Mais du coup, j'essaie de retrouver la dimension du V_h pour P3-Hermite (qui est de 2n où n est le nombre de point intérieur au maillage) avec ce raisonnement mais j'avoue avoir un peu de difficulté. 4 ddl sur chaque segment vu que c'est P3 mais ensuite ? Le raisonnement change par rapport à P2-Lagrange puisque les ddl ne sont pas les mêmes.
Merci encore de votre aide.

[Morghot]

Edit :
Finalement je pense avoir compris même pour P3-Hermite ! En 1D en tout cas. En 2D, ça a l'air d'être faisable mais beaucoup plus difficile de faire ce raisonnement... Si on prend un maillage triangulaire par exemple c'est faisable ? Ou raisonne-t-on autrement pour le 2D ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[membreComplexe12]

Pour les éléments à 2 dimensions les logiciels éléments finis utilisent des éléments que l'on nomme "isoparamétrique"
c'est des éléments qui ont leur fonctions de formes exprimées sur un élément de référence qui a ses dimensions comprises
entre -1 et 1 dans toutes les directions.

Ainsi, il est plus facile d'exprimer les fonctions de formes sur cet éléments. Ensuite, pour le calcul réel, on passe sur l'élément
réel par l'intermédiaire d'un Jacobien lors des intégrations qu'il y a dans la fomulation faible de ton problème.

Ici, je t'ai mis un cours d'éléments finis appliqué à la mécanique qui est plutôt pas mal :
http://laurent.champaney.free.fr/per...tr-elem-II.pdf

Moi aussi j'ai une petite question :
dans pas mal de cours que j'ai lu on parle d'éléments finis d'ordre élévé (polynome supérieur ou égale à 2).
Je comprends que les résultats vont être plus précis par rapport à un polynome de degrès 1 mais du coup j'ai une question :

Pourquoi en pratique c'est pratiquement toujours des polynomes d'ordre 1 qui sont utilisés ?
dans énormement de cours / notes de calculs où choses dans ce genre que j'ai pu lire c'est toujours
des éléments d'ordre 1. Il y a t il une explication à ceci ?

il vaut mieux plein d'éléments peu précis ou peu d'éléments très précis ? pourquoi ?

merci pour ls infos

[Morghot]

Oui d'après mon cours et ma (faible) expérience le 2D oblige à passer par un élément fini de reference. Maintenant c'est pas pour une implémentation mais un devoir sur table donc je ne sais pas si on va tomber sur de 2D qui est quand même beaucoup plus lourd. Pour la question d'utilisation du P1 c'est peut-être parce que c'est beaucoup moins lourd (pas négligeable surtout quand on passe en 2D ou 3D j'imagine). Certes c'est moins précis mais cela suffit sûrement pour certains problèmes, ou en tout cas l'avantage d'une plus grande facilité de mise en œuvre prend le pas sur la précision. Ça n'est que mon avis (basé sur une petite expérience donc à prendre avec des pincettes )