Algebre linéaire

[Pluume]

Bonjour,

Je suis au milieu d'un problème d'algèbre linéaire et j'ai un peu de mal, le problème c'est que une question m'empêche de faire la suite.

si je pose le problème avec les resultats trouver avant (dont je suis sur à 100%)

on a E un R EV de dimension 4

B= (e₁,e₂,e₃,e₄) une base de E

f un endomorphisme de E et A sa matrice:

A=

1 1 0 0
2 1 1 1
0 0 0 a
a a 0 0

on suppose a différent de 0
on pose F= Im f, dimF = 3
et là viens le problème:

j'ai b₁ = c. e₁ + a.e₄ et on me demande pour quelle valeur de c la famille (b₁, e₂, e₃) est une base de F

et je dois trouver une unique valeur de c...
mon problème c'est que le range de la famille est toujours égal à 3 selon moi, donc cette famille serais toujours une base de F mais je dois me tromper... Pouvez vous m'aider s'il vous plait !

Merci d'avance pour votre réponse.
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[Jedoniuor]

Bonjour,

Ce que vous dites me parait correct. Vous n'avez oublié qu'une chose: pour que vos vecteurs soient une base de Im(f), il faut déjà qu'ils soient dans Im(f). Votre sous-espace vectoriel Im(f) est engendré par les vecteurs colonnes C1,C2,C3,C4 de votre matrice A. On a e2=C3, donc e2 appartient à Im(f), je vous laisse trouver pour e3, c'est facile. Pour b1, ecrivez que b1=u1C1+u2C2+u3C3+u4C4, avec les uk dans R et vous trouverez effectivement une unique valeur de c.

Cordialement.