intégrale impropre

[yootenhaiem]

Bonjour,

Soit g une fonction telque:

On nous demande de trouver la limite de g en .

Pour ce faire prenons le changement de variables suivant:, et g devient: qui fait moins peur.

Intuitivement, je dirais que la limite vaut 0, mais je ne trouve pas comment le prouver.

J'ai essayé une intégration par partie avec arcsinus mais en vain.

Merci de me donner une ou deux indications.
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[albanxiii]

Bonjour,

Si vous avez une idée de la limite, vous pensez au lemme de Riemann-Lebesgue.

@+

[yootenhaiem]

C'est parfait merci. Je voulais le faire a la main mais bon.

[Jedoniuor]

Bonsoir,
Voici pour la méthode "à la main"...

Je prend g(x) sous la forme de l'intégrale de 0 à 1.
1) Fixez a, avec 0<a<1, on va d'abord montrer que converge vers 0 si x tend vers l'infini. Pour cela intégrer par partie, en intégrant le cos(ux) (vous pouvez supposer x>0), vous verrez donc apparaitre un 1/x; majorez le tout brutalement(en majorant le sin(ux) en valeur absolue par 1), avec un majorant de la forme C/x et concluez.

2) Soit e (=epsilon...)>0, assez petit. Voir pourquoi vous pouvez choisir a, 0<a<1 (dépendant de e) assez proche de 1, tel que



3) On a alors:



4) Je vous laisse conclure.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re,

C'est parfait merci. Je voulais le faire a la main mais bon.

Désolé, je suis uen feignasse de physicien A chaque fois que je peux éviter les calculs, j'évite....
Le faire à la main nécessite de voir quelle(s) partie(s) de l'intégrale sont problématiques, et on arrive au découpage de Jedoniuor. C'est plus formateur pour un étudiant, en effet.

@+

[Elie520]

C'est parfait merci. Je voulais le faire a la main mais bon.

Pour le faire entièrement à la main : Coupez l'intégrale comme indiqué, puis intégrez par partie ce qu'il reste en intégrant le cosinus: un facteur apparait et vous permet de conclure.

Cordialement.