Schéma saute-mouton

[invite00c73359]

Bonjour,

J'ai à résoudre l'équation des ondes par différences finies en 1D. J'utilise les schémas de Newmark et de saute-mouton. On discrétise l'intervalle et on note

-> Saute-mouton



-> Newmark





avec et où les paramètres satisfont et

J'ai trouvé la discussion sur la stabilité de Newmark donc je pense pouvoir me débrouiller. En fait, c'est le schéma saute-mouton qui me pose le plus de problème : j'ai lu qu'il était stable sous la condition CFL . Seulement, en écrivant le schéma sous la forme où est tridiagonale avec les coefficients correspondants aux schémas, j'arrive à soit en remplaçant par sa valeur : .

J'ai essayé autre chose, en passant par l'analyse de Fourier : mais là je n'obtiens plus du tout la même chose.

Merci d'avance.

Cordialement.
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[invite9c7554e3]

salut,

- pour le schéma de Newmark j'avais posté quelque chose à l'époque mais j'avais laissé tombé ensuite car je n'avais pas bien compris.
- pour le schéma saute mouton je ne connais pas mais si tu donnes plus de détails/étapes dans ta démonstrations peut être que je pourrais t'aider
à trouver ce qui ne vas pas....

Je pense qu'il y a deux méthodes pour montrer la stabilité, tu mets sous format matriciel et ensuite :
1) soit montrer que les valeurs propres sont < à 1 (en valeur absolue)
-> ceci est faisable dans le cas de matrice tridiagonale car il existe souvant des formules de récurences qui donnent la forme des valeurs propres
2) soit passer par une analyse de Fourier,
-> mais je ne me rappel plus comment il faut faire....

Dans tout les cas, je pense qu'il faudrait que tu donnes plus de détails pour que l'on puisse t'aider

A+

ps:
- d'après ce que j'ai compris, la méthode de Newmark est toujours stable pour certains paramètres (à la limite de la stabilité d'après ce que j'ai compris, je ne sais pas si c bien ou pas...?)
- le schéma saute mouton est plus précis que Newmark? ou plus stable ?

[invite00c73359]

Le schéma saute-mouton me pose problème car je ne trouve pas la même chose que le livre que j'ai (Méthodes numériques : algorithmes, analyse et applications). Mais ce que je trouve me paraissait cohérent... Pour Newmark, je viens d'écrire le schéma sous la forme où A et B sont deux matrices. Un raisonnement sur les valeurs propres devrait suffire, le problème est que les matrices que j'ai trouvé (surtout pour B) sont très compliquées. Ce sont des matrices blocs dépendant d'autres matrices tridiagonales. Je conçois que m'aider dans ces conditions va être difficile. Je donnerai l'expression que j'ai trouvé dans la soirée.

J'ai trouvé un autre livre, en anglais cette fois, mais celui-ci ne donne que le résultat que j'ai déjà et que je vois presque partout ^^ (il donne en fait une astuce mais avec les différences de notations je suis carrément paumé). D'ailleurs, là encore on me dit de considérer le second membre comme nulle. Le second membre de mon équation des ondes ? Si c'est le cas, cela peut simplifier beaucoup le schéma et son écriture sous la forme précédente pour les valeurs propres. Mais je ne comprends pas pourquoi il faut considérer un second membre nul pour la stabilité. D'ailleurs je viens juste de remarquer qu'il n'intervient pas dans le schéma de Newmark que j'ai, je ne sais pas si ça changera quelque chose.

J'ai aussi vu une démonstration assez partielle où ils se ramènent à n système 2x2 découplés (plus facile pour les valeurs propres forcément) mais je ne comprends pas grand chose non plus. La méthode doit être appliquée à la mécanique car on me parle de matrice de rigidité, etc... dans une équation qui n'a rien à voir avec la mienne (d'après moi en tout cas). Voilà le lien : http://www.ensta-paristech.fr/~mbonn...568/amphi9.pdf

Merci encore pour votre réponse.

[invite9c7554e3]

J'ai aussi vu une démonstration assez partielle où ils se ramènent à n système 2x2 découplés (plus facile pour les valeurs propres forcément) mais je ne comprends pas grand chose non plus. Voilà le lien : http://www.ensta-paristech.fr/~mbonn...568/amphi9.pdf

ce lien à l'air super intéressant et assez bien détaillé

La méthode doit être appliquée à la mécanique car on me parle de matrice de rigidité, etc... dans une équation qui n'a rien à voir avec la mienne (d'après moi en tout cas).

oui effectivment c'est appliqué à la mécanique mais peu importe :
- si tu arrives à refaire la démonstration de ce monsieur alors il faudra juste faire le parallèle avec ton cas à toi

Dans son cas il s'agit d'un système "masse-ressort" sans amortisseur, ici la masse est une matrice est le ressort aussi, c'est la seule différence.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_masse-ressort

Essai de repartir depuis le début avec sa méthode et détailler petit à petit et on peut essayer de confirmer/infirmer ce que tu es en train de faire...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00c73359]

Je vais essayé ça. Je vais essayé d'adapter à mon équation et à mon schéma et je posterai quand j'aurais un problème (ce qui risque d'arriver souvent ).

Je vois bien que les formules (a) et (b) de la page 20 ressemble à mon schéma. Du coup j'en déduis l'analogie de avec mon vecteur formé des , l'analogie de avec le vecteur etc... Ce qui me pose problème, c'est que je ne vois pas du tout à quoi correspond et d'où vient l'équation et ce que sont , et donc je ne pas faire l'analogie avec mon équation des ondes et mon schéma.

Je dois rendre ça vendredi soir donc j'ai du temps mais en même temps il ne faut pas que je traîne car il y a la partie rédaction à faire.

Merci de me consacrer du temps.

[invite9c7554e3]

ce que sont , et donc je ne pas faire l'analogie avec mon équation des ondes et mon schéma.

- K, M et F viennent de la discrétisation spaciale, n'y fait pas trop attention, ce n'est pas bien important je pense.
- tu devrais partir de ton eq. et voir si tu arrives à trouver une forme similaire

[invite00c73359]

Apparemment, je dois absolument mettre sous la forme . On peut prendre , , et ? Tout les liens que je trouve partent de cette équation. M'enfin, même après ça, je vois pas comment partir.

Merci

[invite9c7554e3]

ton equation de départ est :


tu dois faire une discrétiation spaciale en premier, donc si tu es en différences finis tu as :

et donc :


si on pose on a :


à présent il faut que tu fasse ta discrétisation temporelle
par exemple si tu prends le cas de différences finis encore une fois (ce qui n'est pas le cas de newmark)
tu auras comme pour la discrétisation spaciale :


du coup ton expression discretisée est :

et du pose :
et tu obtiens :



cette relation tu peux la mettre sous forme matricielle si tu l'appliques pour plusieurs noeuds spaciaux "i"

du coup tu peux à présent regarder la stabilité de ton problème


ce que tu dois faire c'est exactement la même chose que l'eq. que j'ai mis en violet

sauf que la façon dont tu discrétise temporellement ne sera pas la même que celle que moi j'ai fais.

[invite00c73359]

C'est le schéma saute-mouton ? En tout cas c'est comme ça qu'on a obtenu son ordre qui est 2 en temps et en espace. Du coup, pour le schéma de Newmark, c'est la discrétisation en temps qui change ? Quelle est cette discrétisation ? Du coup oui ce sera plus pratique pour le mettre sous forme matricielle et pour l'étude de la stabilité.

[invite9c7554e3]

C'est le schéma saute-mouton ?

je ne sais pas.... en fait j'ai pris un exemple de discrétisation temporelle quelconque, je ne sais pas le non de cette discrétisation.
c'etait juste pour te montrer un exemple de discretisation.

En tout cas c'est comme ça qu'on a obtenu son ordre qui est 2 en temps et en espace.

oui c'est ordre deux en temps et espace.

Du coup, pour le schéma de Newmark, c'est la discrétisation en temps qui change ?

oui, tout à fait. tu garde la même discrétisation spacial mais tu changes la discrétisation temporelle

Quelle est cette discrétisation ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newmark
http://en.wikipedia.org/wiki/Newmark-beta_method

Du coup oui ce sera plus pratique pour le mettre sous forme matricielle et pour l'étude de la stabilité.

oui, je pense que tu dois mettre sous forme matricielle pour pouvoir demontrer facilement la stabilité.

Remarque :
je ne sais pas si ça te sera utile mais lorsque tu as une dérivée temporelle d'ordre 2 tu peux transformer ceci en une système de deux equadiff d'ordre 1 en posant : et du coup tu peux arriver à avoir une forme matricielle avec deux variables U mais equivalente à la methode de depart.

[invite00c73359]

Ok. J'avoue que de comprendre la construction de la méthode de Newmark que j'ai (la discrètisation en temps qu'elle effectue) va beaucoup m'aider. J'ai beaucoup de mal à prouver qu'elle est d'ordre 2 si dt=dx (vu en résultat dans plusieurs livres) et du coup j'ai un problème dans l'implémentation. Pour la stabilité, je ne vois pas d'autre alternative que de mettre mon équation des ondes sous la forme de l'équation générale de la dynamique (de ce que j'ai pu lire en tout cas je ne suis pas du tout physicien ce qui me dérange pas mal sur ce problème ^^) puisque toutes les démonstrations que j'ai vu (adaptées aux problèmes à résoudre évidemment) utilisaient cette équation. Même sur Wikipédia il considère cette équation pour parler de la méthode de Newmark. Le soucis est que je n'arrive pas à la mettre sous cette forme.

Merci

[invite9c7554e3]

je ne comprends pas pourquoi tu veux absolument te ramener à une forme quelconque....
tu pars de l'eq. :

et ici tu fais une approximation de par les eq. que te donne Newmark....
je ne connais pas vraiment le schema de Newmark donc je ne peux pas te le faire mais je pense que tu dois au moins pouvoir démarrer...

si tu tiens vraiment à faire le parallèle avec la mécanique (bien que je pense que ce ne soit pas obigé):
l'eq. que je t'ai mis plus tôt est bien de la forme que tu demandes (sauf que ici on a pas de dérivée simple C=0)


si tu mets tout les "i" du même côté :


ps: peut être qu'au lieu de te ramener à une equation de degres 2 tu devrais peut etre te ramener à deux eq. de degres 1, as tu essayé ?

pourrais tu nous montrer ce que tu as fais pour que l'on puisse t'aider ?

[invite00c73359]

Voilà ce que j'ai fait pour la consistance.

On considère la solution de l'équation des ondes (que l'on prend sans second membre pour alléger). et désignent respectivement les approximations de et .

On remplace par la solution exacte dans le schéma et on note cette expression :

où

En rentrant le venant du et vu que on a :



(le grand O n'est multiplié, en le sortant des crochets, que par des constantes vis à vis de donc il n'est pas "modifié")

On rentre le dans les crochets et vu que par l'équation des ondes :



Ensuite on pose où et il vient que :



Là c'est la partie dont je ne suis vraiment pas sûr. On remarque une expression qui ressemble beaucoup à un DL de Taylor et donc :



J'ai vu la même chose sur Wikipédia ou dans un PDF mais je n'avais jamais vu de reste de ce genre dans un DL (faisant intervenir un paramètre compris entre 0 et 1 etc...).

On obtient enfin que :



Le schéma est consistant ( tend vers 0 en et indépendamment quand l'un ou l'autre tend vers 0) et d'ordre 2 en temps et en espace. Maintenant j'ai bien ce résultat dans un livre mais ils disent seulement si ce qui n'intervient pas dans ma démonstration.

C'est exactement la même chose pour la seconde équation : au lieu de prendre , on prend

Enfin, pour la stabilité, je souhaite écrire absolument l'équation des ondes sous la forme de mon précédent message parce que toutes les démonstrations de stabilité que j'ai vu repose sur cette forme. D'ailleurs que pensez-vous de :

avec , et

où représente le vecteur

[invite00c73359]

Peut-être que pour obtenir avec la formule de Taylor, il faut prendre la formule avec reste intégrale et qu'il faut ensuite approcher cette intégrale (d'où le paramètre et la dérivée seconde en temps aux bornes de l'intervalle sur lequel on intègre). Qu'en pensez-vous ?

[invite00c73359]

Re-bonjour,

J'effectue, dans mon équation d'onde, une discrétisation de la dérivée seconde en espace par un schéma centrée.

Du coup j'ai pu écrire mon équation sous la forme où est tridiagonale.

En écrivant mon schéma de Newmark et en remplaçant par mes dérivées secondes par rapport au temps j'obtiens :



Et là je suis bloqué.

Merci.

Cordialement.

[invite9c7554e3]

Voilà ce que j'ai fait pour la consistance.

pour les demonstration de consistance je n'ai pas trop l'habitude....
moi voici comment je procéderai : http://karine.beaufils.free.fr/ConsPrecis.html

On remplace par la solution exacte dans le schéma et on note cette expression :

je ne comprends pas cette phrase.... on remplace quoi par la solution exacte ? la solution de quoi d'ailleurs ?

où

je ne comprends pas d'où vient cette equation donc je ne peux pas vous donner mon avis dessus.... qu'es ce que vous avez fait exactement pour avoir cette expression ? et que son les beta lambda....etc
ce qui me gène le plus c'est ce au début, je ne vois pas d'où ça vient (encore moi que le reste...)
vous ne vouliez pas écrire plutôt :
où
ce que je comprendrai un peu mieux à la limite.... (même si je n'ai pas saisi d'où tout ceci vient et ces beta...)
[/QUOTE]

En rentrant le venant du et vu que on a :

si dans vos notation on a alors on est d'accord.
Votre erreur de discrétisation en espace est en donc votre schema est consistant en espace à l'ordre 2.

(le grand O n'est multiplié, en le sortant des crochets, que par des constantes vis à vis de donc il n'est pas "modifié")

OK

On rentre le dans les crochets et vu que par l'équation des ondes :

Ensuite on pose où et il vient que :

OK, pas de problèmes ici, vous avez juste exprimé les dérivée spacial par les temporelles à l'aide de votre EDP de depart

Là c'est la partie dont je ne suis vraiment pas sûr. On remarque une expression qui ressemble beaucoup à un DL de Taylor et donc :

J'ai vu la même chose sur Wikipédia ou dans un PDF mais je n'avais jamais vu de reste de ce genre dans un DL (faisant intervenir un paramètre compris entre 0 et 1 etc...).

ici le but est de remarquer que votre solution represente un developpement de Taylor à un certain ordre. le fait qu'il y a des me gène un peu personnellement.
ce n'est pas des choses auquelles je suis bien habitué et je ne sais pas d'où vous êtes parti pour poser votre premiere equation donc je suis un peu perdu....

moi j'aurai tendance à dire que l'on a notre solution à l'instant : qui s'exprime comme ceci :

et que si on a alors on a bien une erreur de troncature d'ordre 2 (car ça coïncide avec de développement Taylor ordre2)
donc il est par la meme occasion consistant.

Le schéma est consistant ( tend vers 0 en et indépendamment quand l'un ou l'autre tend vers 0) et d'ordre 2 en temps et en espace. Maintenant j'ai bien ce résultat dans un livre mais ils disent seulement si ce qui n'intervient pas dans ma démonstration.

moi j'aurai la même conclusion que toi.... par contre avec une condition sur

C'est exactement la même chose pour la seconde équation : au lieu de prendre , on prend

qu'elle seconde eq ?....
le soucis dans votre message c'est que je n'ai pas compris au depart avec quelles hypothèses vous partiez et donc je n'arrive pas à suivre...

Enfin, pour la stabilité, je souhaite écrire absolument l'équation des ondes sous la forme de mon précédent message parce que toutes les démonstrations de stabilité que j'ai vu repose sur cette forme.

OK, pourquoi pas.

D'ailleurs que pensez-vous de :
avec , et
où représente le vecteur

OK, je suis d'accord avec toi
par contre, juste un petit détail, en général en mécanique le n'est pas devant mais devant et c'est
qui est devant

Peut-être que pour obtenir avec la formule de Taylor, il faut prendre la formule avec reste intégrale et qu'il faut ensuite approcher cette intégrale (d'où le paramètre et la dérivée seconde en temps aux bornes de l'intervalle sur lequel on intègre). Qu'en pensez-vous ?

aucune idée je ne sais même pas c'est quoi ce que tu appel reste intégrale...

J'effectue, dans mon équation d'onde, une discrétisation de la dérivée seconde en espace par un schéma centrée.

OK

Du coup j'ai pu écrire mon équation sous la forme où est tridiagonale.

Je suis d'accord avec toi.

En écrivant mon schéma de Newmark et en remplaçant par mes dérivées secondes par rapport au temps j'obtiens :

je te rappel que je ne connais pas vraiment le schema de Newwmark donc j'ai besoin que tu me donnes plus de details...

je ne peux pas te dire si ce que tu as fais est correct car j'ai besoin des details qui t'on amené à ce système car je ne connais pas bien le schéma de Newmark.

en tout cas, si je considère que ce système est correct, tu as quelque chose de la forme :

où A est une matrice et B un vecteur.

Si est la solution exacte alors par application de ton schema tu dois avoir (point fixe):


et si tu soustrait membre à membre cette eq. à l'eq. discrétisé que j'ai mis ci dessus alors tu as l'erreur qui est donné par :


la démonstration classique de la stabilité consiste à donc à montrer que l'erreur n'augmente pas au fur et à mesure des iterations.
Pour montrer ceci il faut que les valeurs propres de la matrice A sous toutes inférieur à 1 en valeur absolue.

==> il ne te reste plus qu'a diagonaliser la matrice A et voir dans quelles conditions les valeurs propres sont inférieures à 1.