théorème de convergence dominée

[zaskzask]

Bonjour a tous,

J'ai une question par rapport à l'analyse de Fourier: (ici désigne la transformée de Fourier de f, désigne la transformée inverse)

Si alors est continue. Je vois pas du tout pourquoi. Mon prof d'analyse ne cesse de répéter que c'est à cause du théorème de la convergence dominée, mais lorsque je recherche sur wikipedia, il parle d'intégrale de Lebesgue ou des mesures, que nous n'avons pas vu en cours. Est-ce possible de l'expliquer autrement? Avec des suites de fonctions ou je ne sais quoi?

Merci!
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[DavidBoring]

Bonsoir,
Ce n'est pas le théorème de convergence dominée qui intervient ici mais plutôt le théorème de continuité des intégrales à paramètres.

[albanxiii]

Bonjour,

Ce n'est pas le théorème de convergence dominée qui intervient ici mais plutôt le théorème de continuité des intégrales à paramètres.

Théorème qui peut se démontrer très rapidement et très facilement avec le théorème de la convergence dominée.
Ou sans, mais c'est plus pénible.

@+

[Tryss]

En gros, l'idée c'est de montrer que pour tout x réel, et pour toute suite qui tend vers x, (continuité séquentielle)



Et ici le théorème de convergence dominée permet de passer à la limite à l'intérieur de l'intégrale.

En effet on a que, quelque soit x_n, , on peut donc appliquer le théorème de convergence dominée :



D'où, pour tout réel x et toute suite x_n qui tend vers x,



C'est à dire est continue en x pour tout x

[A voir en vidéo sur Futura]

[zaskzask]

D'accords, je vois à présent (merci pour la réponse complète). Mais il y a quelque chose qui m'intrigue: pourquoi il est souvent précisé que est L¹ alors que ça revient à dire que f est L¹ non?

Encore une petite question sur le même sujet:

Si j'ai un problème de la chaleur:





Je le transforme en:





Le fait que et

implique que



vient aussi du fait du théorème de la convergence dominée non? (C'est environ la même chose qu'avant non?)

[Tryss]

D'accords, je vois à présent (merci pour la réponse complète). Mais il y a quelque chose qui m'intrigue: pourquoi il est souvent précisé que |f| est L1 alors que ça revient à dire que f est L1 non?

C'est effectivement synonyme.

Hypothèse du pourquoi certains insistent sur la valeur absolue: c'est peut être dans le cas ou le public est plutôt "intégrale de Riemann". Sinon, il va peut être penser que ce que l'on raconte est vrai pour des choses comme sin(x)/x.

vient aussi du fait du théorème de la convergence dominée non? (C'est environ la même chose qu'avant non?)

Oui, c'est environ pareil

[zaskzask]

Si la réponse était "Oui, c'est environ pareil", je me serait dit: cool!

mais le dans:

Oui, c'est environ pareil

j'avoue, me fait assez peur

[Tryss]

Non, rassure toi il n'y a pas de piège, je sais bien que j'ai une tête de sadique mais quand même

[zaskzask]

rebonjour(soir),

En fait, j'ai toujours un doute, parce qu'il me paraît bizarre qu'il faille utiliser l'équation de la chaleur en soit. Est-ce que mon raisonnement était celui auquel tu pensait?

Par exemple, pour que , on doit donc montrer .

Or



C'est ça?

Merci

[Tryss]

Non, pas comme ça. Il faut se servir du fait que




Ce qui est LA propriété fondamentale de la transformée de Fourier (enfin, elle a été inventée pour ça)

[zaskzask]

Ah oui. C'est juste, merci, j'avais pas pensé à utiliser cette idée. Je suis pas trop familier encore avec ces transformées.
Mais dans ce cas, pour montrer il faut montrer





donc

mais ça n'est pas mentionné. Est-ce que par hazard

[Tryss]

Il faut aussi que

Si on a et , alors toutes les puissances intermédiaires sont dans L^1 (il suffit en fait de découper en deux l'intégrale sur les et sur les )

[zaskzask]

Bon soir!

Alors, Tryss, je suis pas arrivé à grand chose. Donc (pour beta entre 0 et 2):



Il me semble que est borné. Du coup, la première intégrale converge. Mais pour les deux autres, il faut utiliser quels critères de convergence?, je vois pas trop.

Une autre question (je ne change pas de discussion, parce que c'est dans le même sujet): Concernant la transformée de Laplace, à un moment il est utile de montrer que pour une fonction f [tel que pour un certain et un certain sont dans L^1 et f(t)=f'(t)=0 pour t<0 ], on a

(a=Re(z))

J'ai constaté que puisque L¹ est un espace vectoriel, ça veut aussi dire que et j'ai essayer d'appliquer le lemme de Riemann Lebesgue. Mais ça me donne rien. J'aurais besoin d'un coup de pouce (un gros)

Peut être que pour vous ces choses semblent facile, mais moi j'ai pas mal de peine

Merci d'avance pour les réponses

[zaskzask]

rise up!

[Tryss]

Il me semble que est borné. Du coup, la première intégrale converge. Mais pour les deux autres, il faut utiliser quels critères de convergence?, je vois pas trop.

Tu majores par sur [-1,1] et par sur le reste. Et comme ils appartiennent tout les deux à L^1...

Pour ta deuxième question, il doit manquer des conditions quelque part sur a. Le a n'est il pas strictement entre gamma et beta?

En effet, si on prend sur R+ et 0 sur R-, et que l'on suppose

Alors et

Et si on prend , on a

[zaskzask]

Merci, je vais essayer d'y réfléchir.