Planches d'oraux.

[Formule1]

Bonjour à tous.

J'ai quatre questions issues de plaches d'oraux différentes d'oraux des concours:

L'intégrabilité de sum(exp(-n.x²)/n²,n=1..+infinity) ?

Comment montrer que int(ln(x)/(x²-1).dx x=0..1) = sum(1/(2n+1)²,n=0..+infinity) ?

Domaine de définition de int(arctan(x.t)/(1+t²).dt, t=0..+infinity)
Je dit R tout entier car pour tout x réel, arctan(x.t)/(1+t²) < Pi/(1+t²) intégrable sur [0;+infinity]

Comment montrer que dim(L(E))=n² si dim(E)=n
Je pense démontrer que L(E) est isomorphe à Mn(K) mais je ne sais pas comment faire

Merci beaucoup de votre aide.
-----

[toothpick-charlie]

la dernière question est bizarre. Généralement on montre que dim(L(E,F))=dim(E)dim(F) c'est plus général et ça ne coûte pas plus cher.

[Formule1]

D'accord mais que pensez vous des autres questions svp ?

[theguitarist]

Salut

Première question :
S'il s'agit d'intégrer ta somme sur I=]-inf,+inf[, alors tu dois pouvoir t'en sortir en recalculant l'intégrale de Gauss avec un changement en polaire.. . Du coup l'intégrale sur t (sur I) de exp(-n.t²)/n² vaut (1/n²)*sqrt(Pi/n)= sqrt(Pi)/(n^1.5) ce qui est le TG d'une série convergente, et donc le théorème d'interversion somme intégrale doit pouvoir se faire sans aucun problème!


Seconde question :
Je ne l'ai pas faite mais ça doit aussi être un théorème d'interversion somme/intégrale qui se cache la dessous. Regarde du côté des séries entières, le DSE de 1/1+x² vaut sum(n=0..+inf) (-1)^n x^2n. Après ça, intégrer sur ln(x).x^k ça doit bien pouvoir se faire avec des intégrations par parties ou un truc comme ça.


Troisième question :
Oui c'est ça. A noter qu'on peut se contenter d'étudier que R+ puis que l'intégrale est une fonction impaire de x.

Quatrième question:
Donne toi une base B=(e1,e2...en) de E. Pour n'importe quel n-uplet (u1,u2,...un) de vecteurs de E, il existe un unique endomorphisme f qui vérifie f(ei)=ui pour tout i=1..n. C'est bien sûr celui qui a tout x=x1e1+x2e2+...+xnen associe f(x)=x1u1+x2u2+...xnun.

Bon. Maintenant si on appelle g l'application de L(E) dans Mn(R) qui a f associe sa matrice dans la base B. g est évidement linéaire, mais le plus intéressant c'est qu'elle est bijective. Note u1,u2....un les vecteurs colonnes d'une matrice et sers toi de ce que ce qui est écrit juste au dessus pour montrer qu'elle est surjective.

Je crois que j'en ai déjà trop dit... d

[A voir en vidéo sur Futura]