Toplogie des espaces fonctionels

[aouaouisami]

Voilà ma question: prenons l'espace à N dimensions IR^N et considérons l'ensemble A de toutes les fonctions de classe C^1 sur IR^N à valeurs réelles et qui sont strictement postives. Est-ce que l'ensemble A est un ouvert de C^1(IR^N, IR) pour sa topologie classique?
Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Il y a une topologie classique sur ? Pour ma part, je ne la connais pas... Pourrais-tu être plus explicite ?

[Tryss]

Il faudrait expliciter un peu ce que tu entends par "topologie classique" ici. S'agit t'il de la topologie de la convergence simple de la fonction et de toutes ses dérivées?

Si c'est le cas, il suffit de raisonner sur le complémentaire de A : toute suite de fonctions à valeurs négative ou nulle qui converge simplement va converger vers une fonction à valeur négative ou nulle, donc le complémentaire de A est fermé, donc A est ouvert

[aouaouisami]

Je parle de la convergence uniforme de la fonction ainsi que toutes ses dérivées. C'est la topologie " classique" qui rend l'espace C^1 complet. Est-ce que l'ensemble A est ouvert pour cette topologie?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Je parle de la convergence uniforme de la fonction ainsi que toutes ses dérivées. C'est la topologie " classique" qui rend l'espace C^1 complet. Est-ce que l'ensemble A est ouvert pour cette topologie?

cf mon deuxième paragraphe juste au dessus (en remplaçant convergence simple par convergence uniforme)

[toothpick-charlie]

pourtant, si pour simplifier je prends n=1 et si je considère la fonction f(x)=1/x. Au sens de la convergence uniforme, la boule ouverte de rayon h et de centre f est l'ensemble des fonctions g telles que 1/x-h < g(x) < 1/x+h et cet ensemble contient des fonctions prenant des valeurs négatives, donc n'est pas inclus dans l'ensemble considéré, qui n'est pas ouvert. qu'est-ce qui cloche dans ce raisonnement?

[aouaouisami]

En fait, riend n'est bizarre. Si on prend N = 1 et f(x) = 1/1+x² ( c'est une fonction de classe C^1 sur tout l'espace); il est clair que f est dans A. S'il existe une boule centrée en f et de rayn r > 0 (choisi assez petit), alors la fonction g(x) = f(x) - r/2 est dans cette boule mais n'est pas dans A. Ainsi toute boule
centrée en f échappe de A. Dinc A n'est pas un ouvert.

Concernant le raisonnement utilisant le complémentaire de A et la convergence uniforme il est érroné car le complémentaire de A est mal déterminé.

Merci.

[aouaouisami]

Désolé pour les fautes d'orthographe; en fait j'écris rapidement sur un ordinateur portable.

[Tryss]

pourtant, si pour simplifier je prends n=1 et si je considère la fonction f(x)=1/x. Au sens de la convergence uniforme, la boule ouverte de rayon h et de centre f est l'ensemble des fonctions g telles que 1/x-h < g(x) < 1/x+h et cet ensemble contient des fonctions prenant des valeurs négatives, donc n'est pas inclus dans l'ensemble considéré, qui n'est pas ouvert. qu'est-ce qui cloche dans ce raisonnement?

Tu n'es pas dans C(R,R)

Plus sérieusement, j'ai juste oublier d'allumer mon cerveau (comme d'hab j'ai envie de dire) quand j'ai "cherché" le complémentaire de A.

[invite76543456789]

Je parle de la convergence uniforme de la fonction ainsi que toutes ses dérivées. C'est la topologie " classique" qui rend l'espace C^1 complet. Est-ce que l'ensemble A est ouvert pour cette topologie?

Chuis pas sur de comprendre vraiment ce que tu veux dire. La norme uniforme n'est pas une norme sur les fonctions définies sur R^N tout entier. Veux tu parler de la topologie engendrée par les normes uniformes sur tout compact (la topologie de la limite inductive sur les C^1(K,R) plus precisement)?