Bonsoir à tous,
J'ai actuellement un exercice ou j'ai besoin d'effectuer une équa diff de la forme y'(x)=y(x)*a(x). Je n'arrive pas à obtenir sur sa solution, mais il me semble qu'elle est du type suivant ou d'une forme qui s'en rapproche (bornes de l'intégrale de 0 à x):
y(x)=A*exp[intégrale (a(x).dx )]
Pourriez vous m'éclaircir sur la forme précise de la solution de cette Equa Diff ?
Merci d'avance
Tu pars de l'équation y'(t) = y(t)a(t)
Si tu divise l'équation des deux cotés par y(t), elle devient :
Et on reconnait alors à gauche la dérivée de.
On a alors, en intégrant entre 0 et x l'équation, que
On sait intégrer la fonction de gauche, donc on trouve :
On passe le ln(y(0)) de l'autre coté, et on passe à l'exponentielle, et voila :
Ou encore
Voilà pour l'idée générale de comment on résout cette équation.
Cependant, j'ai "triché" à deux endroits : j'ai supposé (implicitement) que y n'était jamais nulle (pour pouvoir diviser), et que y(x) était toujours positive (pour pouvoir prendre le logarithme). Si on voulait faire ça proprement, il faudrait aussi étudier ces cas là (le moins fatiguant est d'obtenir la forme générale ci dessus pour les fonctions y strictement positives, puis de voir que ça donne aussi des solutions pour les valeurs de y(0) négatives ou nulles, et que ces solutions sont les seules par le théorème de Cauchy-Lipschitz)
A noter que cette méthode est "assez utile" en général : Si on a une équation différentielle qui peut se mettre sous la forme y'(x) f(y(x)) = a(x), alors une solution est :
où
(*) : le soucis étant quand la fonction F n'admet pas de réciproque sur tout son domaine, mais seulement sur un morceau. Sans parler du fait qu'il faut savoir intégrer f
Bonsoir,
joliment fait. J'aurais sans réfléchir ( oups ) pris la solution d'une equa diff du 1er ordre
y'(x) + a(x) y(x) = b(x)
le facteur d'intégration est
et la solution générale
pour y'(x) - a(x) y(x) = 0 ,
au numérateur, il ne reste plus que la constante , on change le signe de a(x) et ca donne la solution
Ensuite on calcule y(0) qui ne dépend pas de a et qui vaut U.
Et on retrouve votre résultat
ps : on perd un temps fou avec latex. Faudrait faire qqchose ...
désolé, une erreur sur le signe de a(x) dans l'expression initiale de Fi(x) qui est celui de l'équation de l'exercice et pas celui de l'équation type ...
Il est vrai qu'en me creusant un peu là tête j'aurais pu trouvé sans trop de difficulté, il n'y a rien de très sorcier mais les maths et moi ne font pas deux !
Tout est clair pour moi !
Merci pour ces réponses
