Produit vectoriel

[invite6a69660a]

mon problème:
Soit A_a:R³->R³ définit par l´application linéaire A_a(x):=[a,x].
J´ai déduit la matrice A=(A(e₁),A(e₂),A(e₃)), j´ai montré que A_[a,b]=[A_a,A_b]:=A_aA_b(x)-A_bA_a(x) était vérifié par la règle de Laplace. Maintenant j´aimerais déterminer le noyau et l´image de A_a, mais je suis plus en état d´avoir le recule nécessaire alors je dois m´en remettre à votre aide.
Merci d´avance!
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[invite6b1e2c2e]

Je ne comprends pas bien ce que tu fais. Si tu veux juste déterminer l'image de A : x-> [a,x] (le produit vectoriel donc je suppose), rien de plus simple.
Pour :

Soit . Alors .
Donc .
Or dim(Im(A))+dim(Ker(A))=3. Come z.a =0 est l'équation d'un plan vectoriel, on en déduit que c'est exactement l'ensemble image de A.
Pour a = 0, évidemment, Ker A = , et Im A= {0}.

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rvz