Résolution d'une équation différentielle

[invite575717c9]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de mathématique que je n'arrive pas à résoudre depuis 2-3 semaines. J'ai un peu retourner le problème dans tous les sens sans trouver de solution avec mon niveau personnel en mathématique. Sans forcément trop rentrer dans les détails du pourquoi de la fonction mais j'ai une fonction (inconnue) f(y,z). Cette fonction dépend d'une forme (dans mon cas d'un rectangle) et doit respecter sur les contours de la forme avec y en abscisse, z en ordonnée et désigne l'angle par rapport à la normale du contour.

Pour l'application numérique, je recherche donc à avoir :
pour y = -B/2, et pour z quelconque,
pour y = B/2, et pour z quelconque,
pour z = -H/2, et pour y quelconque,
pour z = H/2, et pour y quelconque.

Problème : comment résoudre tout ça ? Je me débrouille pas trop mal en mathématique et j'ai essayé plusieurs méthodes (avec maxima) pour résoudre tout ça. Celle qui me paraît la plus simple est la suivante :
- prendre une fonction f(y,z)=(x+y+a)^4 . Pour le 4, c'est à mon avis le minimum puisqu'il faut trouver 4 "lignes" de solutions.
- appliquer un expand et j'obtiens :
- J'en déduit alors la forme générale de ma solution en remplaçant tous les coefficients par les inconnus : a, b, c, d, e, ...
- J'ai alors :
- J'applique la première condition à résoudre : y = -B/2, et pour z quelconque
soit ainsi :
et j'applique y = -B/2
- J'obtiens alors : .
- Je résous alors chaque ligne de la même façon : , , ,

Cette méthode marche bien pour y=-B/2, y=B/2.
Par contre, quand j'arrive à z=-H/2, ça bloque. Je me retrouve avec un système à 2 équations et une inconnue (i) :
et

Est-ce que ma fonction de début n'est pas bonne ? Ou c'est plutôt la méthode un peu trop rudimentaire ?
Sinon, peut-être que quelqu'un aurait une autre idée pour résoudre ce l'équation différentielle initiale ?

Merci de votre aide et d'avoir réussi à lire tout jusqu'au bout
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[Arzhur]

Bonjour,


Je n'arrive pas du tout a voir ce que représente "alpha"...est-ce que tu peux faire un dessin ?




Arthur

[invite575717c9]

Merci de ton intérêt.

alpha représente l'angle entre l'axe x et le vecteur perpendiculaire au contour (ce vecteur ne passe pas nécessairement par le centre de gravité).

Pour plus d'explication, il faut regarder en bas de la page 8 du document http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/doc/sections.pdf . L'égalité que je cherche à résoudre est celle en haut de la page 9. Il s'agit de la fonction de gauchissement d'une section. ny et nz sont respectivement cos(alpha) et sin(alpha). Il y a beaucoup d'explication sur ce phénomène sur Internet mais personne ne fait d'application et je comprendre pourquoi... J'ai réussi à appliquer une méthode similaire que je décris (pas tout à fait la même mais le principe est identique) pour un triangle équilatéral mais pour le rectangle, ça ne marche pas. Je ne sais pas pourquoi !?!

[Arzhur]

Ok, si j'ai bien compris t'essayes de calculer un cisaillement sur une poutre "creuse" à section rectangulaire ?

Si c'est le cas (tu auras plus de chance dans la partie "mécanique" du forum) : de mémoire (pcq ca fait longtemps que j'ai pas touché aux poutres), tu dois exprimer ton éq diff sur chaque côté du rectangle : tu auras 4 éq différentielles à résoudre.


Si c'est pas le cas : ca veut juste dire que f(y,z)=(x+y+a)^4 n'est pas solution de ton équation différentielle...



Arthur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite575717c9]

Mon but n'est pas de calculer le cisaillement mais la torsion. Mais si j'arrive à m'en sortir avec la torsion, j'arriverai après à m'en sortir avec le cisaillement effectivement.

Résoudre l'équa diff sur chaque coté du rectangle n'est absolument pas un problème. Le problème c'est d'avoir une seule fonction pour les 4 cotés à la fois. Car une fois que j'ai les 4 équations différentielles, ça ne marchera pas si je multiplie les 4 équations différentiels entre eux pour en obtenir une seule je pense (je pense mais j'en suis *presque* sûr). Et il m'est nécessaire d'avoir une seule fonction pour ensuite pouvoir faire :

Le forum mécanique ? C'est où ???

[Arzhur]

Pardon c'est pas "forum mécanique" mais "forum physique" ( section MATIERE / physique)...tu auras p-e plus de chance là bas.

[invite575717c9]

J'ai continué mes expérimentations et dans un mouvement de désespoir, j'ai étudié la fonction : (x+y+a)^12 (j'avais déjà fait avec 8 mais ça ne marchait pas non plus). Et j'ai réussi à obtenir quelque chose. Pour le moment, c'est totalement inexploitable (le résultat de ma fonction f(x,y) occupe un fichier texte de 600 ko). Je vais essayer d'affiner tout ça en commençant par réduire au maximum le nombre d'exposants...

Je t'avoue que je commençais vraiment à désespérer... J'affinerai ça ce WE et si j'arrive à trouver une solution sous une forme exploitable, je mettrais la solution.

[Arzhur]

C'est comme tu le sens mais rechercher une solution d'équation différentielle "au pif"...ca me parait compliqué -> tente le forum de physique

[inviteea028771]

Ça n'est pas à proprement parler une équation différentielle : c'est une condition de bord

La solution f ne vérifie cette équation que sur le bord du domaine : à l'intérieur, c'est une autre équation.

[invite575717c9]

Bon ben, finalement, je vais tenter le forum physique (ce WE). Parce que j'avais fait une erreur dans les calculs, c'est pour ça que ça marchait.

@Tryss : En fait, j'avais appliqué la méthode décrite dans mon premier message pour un triangle équilatéral et lorsque j'appliquais l'intégrale de df/dz*Y-df/dy*Z sur la surface du triangle, ça marchait sans problème. J'avais parfaitement le résultat théorique. Je suis juste un peu déçu (et étonné) que la méthode qui marchait pour un triangle ne marche pas sur un rectangle.