Curiosités mathématiques

[Cone-12]

Bonsoir, je suis actuellement en L2 mathématiques, et j'ai été plusieurs fois intrigués par des remarques de mes professeurs. C'est donc en toute curiosité que je viens ici, pour que vous puissiez m'éclairer sur ces interrogations.

Tout d'abord, la primitive de (sin x)/x. Cette fonction ne serait pas intégrable, tout du moins pas avec les fonctions usuelles classiques. Ma question concerne le procédé permettant de décider si oui ou non, une fonction peut être intégrer par ces fonctions usuelles (je ne sais pas si cela est de mon niveau, mais je voudrais juste saisir l'idée !)

Ensuite, existe-il une formule en probabilité, qui vise à déterminer, étant donné un entier n, qu'une matrice de taille n posséde un determinant nul (ou non nul).

Pour quels types de fonctions l'intégrale de Lebesgue généralise elle celle de Riemann (exemple d'une fonction qui n'est pas RI mais LI).

Merci d'avance à ceux qui seront capable de satisfaire ma curiosité

Bonne soirée !
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[toothpick-charlie]

pour la première question il faut voir du côté de la théorie de Galois, mais c'est peut-être un peu ardu à ton niveau (quoique)

pour la deuxième, il n'y a pas de loi de probabilité naturelle sur l'espace des matrices nxn, et selon la loi que tu choisis tu peux obtenir des probabilités différentes. En supposant les coefficients i.i.d gaussiens, la probabilité que le déterminant soit nul est nulle (à vérifier mais le contraire m'étonnerait).

pour la troisième question, il y a déjà l'indicatrice des rationnels, qui n'est pas intégrable au sens de Riemann.

[topmath]

Bonsoir comme la expliquer toothpick-charlie que je le salut en passant , je pense que ça dépasse le niveau L2 , car à titre d’exemple pour les équation diff et les EDP (Équation aux Dérivée Partielle) , faut déjà s'assurer de l' éxistance et l'unicité des solutions encore y' a des solution forte et des solution faible en d'autre termes oui il y' a des procédés qui permettant de décider si oui ou non, une fonction peut être intégrer par ces fonctions usuelles le cas de votre exemple sinon faut ce refaire aux méthodes numérique ci c'est solutions sont juger important en industrie ou autres secteur etc .

Cordialement ;

[erik]

Tout d'abord, la primitive de (sin x)/x. Cette fonction ne serait pas intégrable, tout du moins pas avec les fonctions usuelles classiques. Ma question concerne le procédé permettant de décider si oui ou non, une fonction peut être intégrer par ces fonctions usuelles (je ne sais pas si cela est de mon niveau, mais je voudrais juste saisir l'idée !)

Juste pour que tu te fasses une idée de la tronche que ça peut avoir : http://denisfeldmann.fr/PDF/liou.pdf

Bonne lecture.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

pour la deuxième, il n'y a pas de loi de probabilité naturelle sur l'espace des matrices nxn, et selon la loi que tu choisis tu peux obtenir des probabilités différentes. En supposant les coefficients i.i.d gaussiens, la probabilité que le déterminant soit nul est nulle (à vérifier mais le contraire m'étonnerait).

En fait dès que la mesure de probabilité est à densité (par rapport à la mesure de Lebesgue sur R^(n²)), la probabilité d'avoir un déterminant égal à 0 est nulle (l'ensemble des matrices non inversible est négligeable pour la mesure de Lebesgue)

[toothpick-charlie]

oui c'est évident, avec la topologie usuelle de R^(n^2) l'ensemble des matrices à déterminant nul est un fermé d'intérieur vide. Je ne sais pas pourquoi j'ai eu ce scrupule...

[Cone-12]

Merci à vous tous pour ces réponses.
En effet, l'intégration de telles fonctions n'est pas de mon niveau ! La beauté des maths, un énoncé si simple, des réponses qui le sont beaucoup moins ! Merci Erik pour ton document, compliqué pour un étudiant de L2 (mais bon, je pense qu'il est bon pour tout étudiant de regarder ce genre de choses, ça fait bien comprendre qu'on est "qu'étudiant de licence", on pose les bases pour la suite).

Même si je n'ai pas encore fait de topologie et trés peu de proba, je me rend bien compte que si je prend une matrice disons 5x5 et que j'y met des coeffs au hasard, son determinant sera (quasi) à coup sur non nul (bien que ce ne sera pas du vraie hasard car je serais forcément tenté de mettre des petits entiers..)

[toothpick-charlie]

si par exemple tu prends une matrice 2x2 dont les 4 coefficients sont tirés indépendamment dans la loi de Poisson de moyenne 1 (des petits entiers donc), la proba que le déterminant soit nul est d'environ 0.4. Je viens de le calculer par simulation.

[albanxiii]

Bonjour,

Je corrige une petite erreur.

Tout d'abord, la primitive de (sin x)/x. Cette fonction ne serait pas intégrable, tout du moins pas avec les fonctions usuelles classiques.

Cette fonction est continue sur l'ensemble des réels, après prolongement par continuité en zéro, elle est donc intégrable sur tout compact, et également sur R tout entier (au sens des intégrales semi-convergentes).
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%...e_de_Dirichlet pour plus de détails.

Par contre, ce que je pense vous vouliez dire, c'est qu'on ne peut pas exprimer de primitive avec un nombre fini de fonctions élémentaires.

@+

[topmath]

Bonsoir si cette intégrale et définie de -oo à +oo en pourra utiliser la méthode des résidus (en Analyse Complexe ) ou alors la formule d'inversion de Fourier est aussi utile voir ce lien intégrale de Sinx/x.

Cordialement