équation d'une droite ou d'un plan en 3D ?

[marcvart]

Bonjour,

Comment reconnaître l'équation d'une droite en 3D
J'ai affaire à un système de 3 équations à 3 inconnues

x+2y =0
2x + 7y + 3z = 0
-x + 3y + 5z = 0

On obtient finalement (1) x = -2y et (2) x = 2z qui est l'équation d'une droite dans un repère orthonormé (x, y, z)

Mon problème est le suivant :

je peux réécrire (1) x + 2y = 0 et déduire de ces 2 équations que y = z et que finalement (1) pourrait s'écrire
x + y + y = 0 et donc en remplaçant un y par - z, x + y - z = 0 ce qui est l'équation d'un plan vectoriel (passant par 0)
Bien sûr j'ai fait une erreur quelque part...

1) Quelqu'un peut-il m'expliquer où ?
2) Comment reconnaît-on l'équation d'une droite sans faire ce genre de bourde ?

Merci
-----

[ansset]

bonjour,
tu as 3 équations, soit une de trop ( redondante ) 2 des 3 suffisent.
( mais la 3 ème est compatible, sinon il n'y aurait pas de solution )

ce qui est faux , c'est y=z , car de la 1ère et de la 3ème par exemple ( en les additionnant) tu deduit que y=-z !

[ansset]

globalement, tu as deux manière d'ecrire une équation de droite dans un plan.

soit avec un point de la droite et un vecteur directeur ex :
A(xa,ya,za ) et vecteur V (xv,yv,zv )
la droite s'ecrit
x= xa+t*xv, y=ya+t*yv, ...

soit par l'intersection de deux plans:
donc 2 équations du type.
ax+by+cz+d=0

[ansset]

globalement, tu as deux manière d'ecrire une équation de droite dans un plan.

il fallait lire "dans l'espace" evidemment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[marcvart]

Oui, j'avais fait une erreur en recopiant, ce n'était pas y = z mais y = - z, tu l'avais probablement vu, j'ai bien vu que 2 équations suffisaient mais cela ne m'explique pas clairement pourquoi cela ne fonctionne pas comme je l'ai indiqué dans la suite lorsqu'on obtient x + y - z = 0 qui est l'équation d'un plan et n'est pas la même chose que les 2 équations dont est tirée celle-ci à savoir
x = - 2 y et y = -z qui décrivent une droite et doivent être considérées ensemble de mon point de vue.

[marcvart]

Merci d'avoir formaliser les possibilités d'écrire les équations d'une droit ansset, ma remarque précédente reste malheureusement sans réponse.

[ansset]

Oui, j'avais fait une erreur en recopiant, ce n'était pas y = z mais y = - z, tu l'avais probablement vu, j'ai bien vu que 2 équations suffisaient mais cela ne m'explique pas clairement pourquoi cela ne fonctionne pas comme je l'ai indiqué dans la suite lorsqu'on obtient x + y - z = 0 qui est l'équation d'un plan et n'est pas la même chose que les 2 équations dont est tirée celle-ci à savoir
x = - 2 y et y = -z qui décrivent une droite et doivent être considérées ensemble de mon point de vue.

ou est le soucis ?
x+y-z est une autre équation de plan dans lequel est inclus la droite
on peut le vérifier.
x= -2y donc x+y = -y et comme y=-z
-y-z=0

tu peux trouver une infinité de plans contenant la droite.

je ne comprend pas ce qui te "titille" !?

[marcvart]

Oui, je te remercie... Ce que je ne comprends tjrs pas c'est que lorsque j'écris x = - 2 y et y = -z j'ai affaire à une droite que je peux dessiner comme telle alors que tiré du même système d'équations x+y-z = 0 est l'équation d'un plan contenant cette droite. Ces 2 solutions du même système ne sont pas les mêmes... Pourquoi ?

[ansset]

Oui, je te remercie... Ce que je ne comprends tjrs pas c'est que lorsque j'écris x = - 2 y et y = -z j'ai affaire à une droite que je peux dessiner comme telle alors que tiré du même système d'équations x+y-z = 0 est l'équation d'un plan contenant cette droite. Ces 2 solutions du même système ne sont pas les mêmes... Pourquoi ?

ok, je comprend.
la première formulation est bien celle de ta droite sous la 1ère forme que j'ai indiqué, c-a-d un point et un vecteur
ici le point est (0,0,0 ) et le vecteur V (1,-1/2,1,2 )
donc les points de ta droite peuvent s'ecrire ( t, -(1/2)t, (1/2)t)
( ps tu pourrais aussi prendre n'importe quel vecteur multiple de V., par exemple 2V et avoir ( 2t,-t,t )


d'un autre coté x+y-z est l'équation d'un plan contenant la droite
donc si le point P appartient à la droite alors il appartient au plan,
mais l'inverse n'est pas vrai.
par exemple : (0,1,1) verifie x+y-z =0 mais n'appartient pas à la droite.

l'équation d'un seul plan ne suffit pas , il en faut 2
si tu prends
x+y-z =0 comme premier plan
et que tu ajoute un autre plan ( par exemple une de tes équations au mess #1 ) alors tu retombera sur ta droite et uniquement sur elle.

[marcvart]

Merci ansset, il y a matière à réfléchir, je vais regarder cela à tête reposée.

Amicalement.

Marc.