Anneaux et idéaux

[chr57]

Bonjour,

je bloque sur ce qui paraît être un détail dans une démonstration:

j'ai montré que Z[i] (anneau des entiers de Gauss) est isomorphe à Z[X]/(X²+1). Pour p nombre premier, on a alors:

Z[i]/(p) isomorphe à (Z[X]/(X²+1))/(p) : pourquoi ? j'ai essayé de le montrer avec le théorème d'isomorphisme mais pas réussi.

Et est-ce qu'on a dans le cas général: pour A,B 2 anneaux, A isomorphe à B implique que A/I isomorphe à B/I (où I idéal tel que A/I et B/I aient un sens) ?

Merci pour votre aide!
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[toothpick-charlie]

je suppose que tu veux dire : si f est un isomorphisme de A sur B, I un idéal de A et f(I) l'image de I par f, alors A/I est isomorphe à B/f(I) (sinon B/I n'a pas de sens). Ca me semble évident.

[chr57]

Ok alors, I et f(I) sont isomorphes (0 appartient à I, et en restreignant f à I). On note f' l'isomorphisme.

De plus, les projections canoniques p_I de I sur A/I (resp p_f(I) de f(I) sur B/f(I)), restreintes à I (resp à f(I)) sont bijectives.

Donc, g=p_f(I)of'o(p_I)^-1 est un isomorphisme de A/I sur B/f(I). A priori?

[chr57]

Non j'ai écrit n'importe quoi (la projection de A sur A/I restreinte à I est nulle...). Je ne suis pas super à l'aise avec les anneaux quotients, donc ça ne me semble pas évident, désolé.

On peut le démontrer en montrant qu'à une classe de B/f(I), on associe une unique classe de A/I, ce que j'ai réussi à faire je pense, en montrant injectivité et surjectivité séparément. Tu as un argument plus rapide? Déjà montrer que g:A/I->B/f(I) (qui à une classe (x barre) de A/I associe la classe (f(x) rond) de B/f(I)) est bien définie, et est un morphisme, n'est pas très dur mais prend quelques lignes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[toothpick-charlie]

c'est plus simple si on dessine un diagramme. En fait tu as un isomorphisme f de A vers B et si je note p et p' les surjections p:A->A/I et p':B->B/f(I), pf est surjectif et son noyau est I donc il se factorise en une application f* de A/I vers B/f(I). f* est surjective parce que pf l'est et injective par construction.