fonction polynomiale et determinant

[farmed]

bonjour
rien a ajouter voila l'énoncé de l'exo :
soient A un matrice d'ordre n et I l'identité montrer que la fonction polynomiale f=det(A-xI) est non nulle
merci pour votre temps
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[ansset]

la reponse est dans l'énoncé, non ?
"rien à ajouter" !

[farmed]

bonjour
comment j'ai pas pu trouvé la reponse

[invite02232301]

Bonjour,
Tu parle de fonction polynomial ou de polynome?
Si tu parle de fonction polynomiale le resultat est faux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[farmed]

mais on peut identifier une fonction polynomiale à un polynome donc il n y a pas de différence

[farmed]

est ce que vous pouvez me donner une démonstration selon les cas que vous voyez

[invite02232301]

Ben, justement non on peut pas.
Sur F_2, le polynome X²-X n'est certainement pas nul, par contre le fonction polynomiale associée est nulle.
Il est facile de construire une matrice de taille 2 qui ait ce polynome pour polynome characteristique.
Maintenant si ta matrice est à coefficients complexes par exemple, le resultat est vrai, et c'est parce que C est de cardinal infini.

[farmed]

plus de clarification s'il vous plait
note : c'est quoi F_2

[invite02232301]

F_2 c'est Z/2Z, le corps à 2 elements.
Que veux tu que je clarifie?
Le polynome char est toujours de degré n, pour une matrice de taille n. Un polynome de degré n ne peut avoir plus de n racines. Si le corps de base est de cardinal plus grand que n, alors le polynome char ne peut etre identiquement nul en tant que fonction polynomiale. Ce sera le cas si ton corps de base est infini (Q, R ou C par exemple).

[farmed]

merci votre explication m a aidé
mais le soucis qui reste en moi est que si on prend par exemple C comme corps de bases est ce que on peut avoir que pour tout x de C la matrice (A+xI) soit non inversible

[invite02232301]

Ben non, je viens de t'expliquer pourquoi.

[farmed]

mais vous avez dit que le polynome char peut avoir au plus n racines mais je panse qu il peut etre nul aussi

[invite02232301]

S'il la fonction polynomiale associée au polynome char etait nulle sur C, alors le polynome en question aurait une infinité de racines, ce qui ne se peut pour un polynome de degré n.

[farmed]

mais pour quoi le degré de det(A-xI) vaut n je crois que selon la valeur de A il peut etre inf(R)

[invite02232301]

Ca se prouve par récurrence (par exemple), en developpant par rapport à la première colonne le determinant.

[farmed]

bonjour c'est vérifié merci pour votre aide
cordialement