résoudre une équation matricielle.

[gloups13]

Bonsoir tous le monde. J aucun exo de maths et je sais pas par où commencer.
1 2 1 2
2 1 2 1
A= 1 2 1 2 Trouver les matrices M à coef réel de taille 4 tel que
2 1 2 1
M^2+2M=A.
Le seul truc que je peut faire c est diaginaliser A. Mais après...
Aidez moi svp.
Bonne soirée.
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[Universus]

Bonsoir,

Ça me semble un bien bon départ de diagonaliser A. Sauf erreur, les valeurs propres de A sont 6, -2, 0 et 0. Écrivons B pour la matrice diag(6, -2, 0, 0). Ainsi, avec P une matrice formées des vecteurs propres de A. En multipliant l'équation à gauche par P et à droite par , et en notant , on obtient l'équation . Elle a à peu près la même forme, mais B étant un peu plus simple, l'équation l'est d'autant.

Une idée pour la suite est de remarquer que cette équation implique que B commute avec N. Puisqu'il est assez simple de calculer BN et NB sachant que B est diagonale, cela met d'importantes contraintes sur les N solutionnant l'équation. Il est possible alors de calculer N^2+2N et de voir quand cela peut égaler B.

Pour retrouver les solutions M, il suffit de calculer P, son inverse et le(s) produit(s) où N est solution de l'équation 'diagonalisée'.

Bon courage!

[gloups13]

bonjour Universus merci pour ta réponse. Avec tes notation on peut ecrire A =PBP^-1 donc
B=P^-1AP et non pas B=PAP^-1.
Je trouve la même équation que vous N^2+2N=B avec cette fois ci N=P^-1MP
et donc B et N ne commuttent plus.(en faisant les calculs à la calculette)
Voilà où j'en suis.

[Universus]

Bonjour,

En effet, je n'ai pas pris garde : si P est une matrice de vecteurs propres, alors , soit encore . Par contre, le raisonnement qui suit ne se base absolument pas sur ce qu'est P, mais seulement sur le fait que B et A sont des matrices similaires (c'est-à-dire qu'il existe une matrice Q telle que ). Ce fait nous permet de ramener le problème à la résolution de l'équation matricielle d'inconnue X et où D est une matrice diagonale.

Seule la forme de cette équation importe dans la commutativité de X et de D et non pas comment X(=N ici) et D(=B ici) s'obtiennent de M et de A. En effet, X commute nécessairement avec ; si D est égal à cette expression, alors X et D doivent commuter.

On montre assez facilement qu'une matrice qui commute avec une matrice diagonale est diagonale par blocs**. Il est alors assez simple de calculer sachant que X est de cette forme. Cela ramène le problème de la détermination des solutions à l'équation à celui de la résolution d'un certain nombre d'équations sur des matrices plus petites et avec chaque une matrice diagonale constante.

À partir de là, je vois mal comment éviter le calcul direct des solutions, bien que diverses astuces puissent encore se révéler utiles, je n'en sais rien.

Cordialement

** Pour autant que les valeurs propres sur la diagonale de D soient placées de façon à ce que les valeurs identiques apparaissent consécutivement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

On peut faire ceci:
(N^2 + 2N + I) - I = B
(N+I)^2 = B + I
N+I = (B + I)^(1/2)
N=(B + I)^(1/2) - I
et finalement M = P N P^-1

Il faut donc calculer une racine carrée de B+I, c'est possible puisque B+I est déjà diagonale avec des valeurs >0.
J'ai vérifié avec Maple et ca fonctionne: la matrice M trouvée a des coefficients réels et vérifie l'équation M^2+2M=A, mais les calculs sont quand même lourds.

[Universus]

C'est effectivement bien plus rapide! Merci beaucoup pour la piste!

[gloups13]

merci de m'avour aidé.La méthode de Universus est celle (pris académique) de ma prof.Mais celle de sylvainc ne marche pas ou alors j ai pas compris car B=diag(6,-2,0,0) donc (B+In)^(1/2) n a pas de sens à cause de -2.
J espere qu'in peut quand meme se ramener a cette methode.Car elle est tres rapides.

[Universus]

Néanmoins, sauf erreur de ma part plus haut, B aurait une valeur propre négative (à savoir -2), donc B+I n'est pas définie positive. Du coup, il y a certaines subtilités à prendre sa racine, puisque aucun choix canonique n'est accessible (notons que même s'il y en avait un, puisqu'on veut trouver toutes les solutions, il faudrait considérer toutes les racines possibles).

La difficulté de cette démarche est donc dans l'obtention des racines de B+I.

La méthode que j'exposais nous donnais que est solution de si et seulement si



avec , et où et O est la matrice 2x2 nulle. Pour résoudre cette dernière équation, on peut utiliser la méthode exposée par sylvainc2 : on aura et il est simple de calculer quelles sont les racines de Id : ce sont les matrices de Pauli.

Bref, il y a a priori 2x2x4 = 16 solutions N. On calcule les et on ne garde que celles n'ayant pas de composantes complexes.

Sauf erreur, ça fonctionne (quelle évidence...).

[gloups13]

ya toujours des oriblèmes avec les maths. b^2+2b=-2 n'a pas de solution réelle donc est ce que cela veut dire que l' équation n'admet pas de solution ? merci de votre aide.

[Universus]

En fait, encore une fois, c'est mon erreur... : les valeurs propres de la matrices A sont 0, 0, 2 et 6, bref toutes positives. sylvainc2 avait bel et bien raison. Néanmoins, comme je le disais, il faut toujours considérer toutes les racines de B+I, ce qui n'est pas plus évident qu'avant. Heureusement, le reste de la démarche établie fonctionne toujours.

[gloups13]

non non les valeurs propres de A sont bien (6,-2,0,0) et
P=(1,1,1,1)
(1,-1,1,-1)
(1,0,-1,0)
(0,1,0,-1)
Finalement avec votre méthode ou celle de sylvainc2 à la fin je trouve le même résultat pour N (il y a bien 16 choix) mais aucune de ces 16 matrices n'est réelle donc en me ramenant à M , j'aurais pas de matrice réelle et comme je cherche que les matrices à coef réels alors je bois qu'il y a un problème.

[Universus]

En effet, j'avais «re»calculer le polynôme caractéristique de la mauvaise matrice... Au moins c'est réglé!