Limite supérieure

[christophe_de_Berlin]

bonjour, j´ai un problème de définition, ça a l´air tout bête, mais mon imagination arrive à sa limite

Je viens de lire la définition d´une limite inférieure d´une suite bornée, mais du coup je ne vois aucune différence avec la borne supérieure de la même suite.

Donc j´en déduit que y a un détail qui m´échappe, vu que les mathématiciens n´inventent généralement pas deux fois la même chose


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[GuYem]

Il y a une différence pourtant.

Limite sup est la plus grande valeur d'adhérence alors que la borne sup est un majorant qui marche pour tout n.

Prends U_0 = 1 et U_n = 0 pour tout n>=1

Alors la borne sup est 1 et la limite sup est 0.

[christophe_de_Berlin]

Donc la limite sup est égale à la borne inf!?

Je lis: Si Un est bornée, on définit Vn = Sup(Uk; k>n)
Donc Vn est décroissante et minorée et converge donc vers une limite L qu´on définit comme limite supérieure.

[matthias]

Si la suite converge, lim sup = lim inf = limite.
Si on reprend l'exemple de GuYem avec U0=1, U1=-1, Un=0 pour n>1, on lim inf = lim sup = 0, mais sup=1, inf=-1

[A voir en vidéo sur Futura]

[christophe_de_Berlin]

D´après la définition que j´ai, si par exemple la suite est périodique, la limite SUPÉRIEURE est égale à la borne SUPÉRIEURE de la suite, c´est donc une suite constante pour toute suite périodique?

J´ai tiré cette définition du site www.bibmath.net:

Soit (Un) une suite bornée de réels. On pose Vn = sup{Uk; k>n}. Alors (Vn) est décroissante, minorée et donc convergente vers une limite L. L s´appelle la limite supérieure de la suite (Un).

[martini_bird]

Salut,

D´après la définition que j´ai, si par exemple la suite est périodique, la limite SUPÉRIEURE est égale à la borne SUPÉRIEURE de la suite, c´est donc une suite constante pour toute suite périodique?

Il existe pas mal de sous-suites constantes à une suite périodique (en fait la longueur de la période).

Tu devrais faire un dessin c'est très visuel comme notion: on envie de dire que la suite admet plusieurs limites, alors on appelle ça valeurs d'adhérences et parmi elles il y en a une plus grande que les autres, c'est la lim sup.

Cordialement.

[invite6b1e2c2e]

Essaye par exemple de regarder les suites
u_n = sin n ;
u_n = sin n * exp(n) ;
Et y en a plein d'autres comme ça qui ont des limsup et des liminf , mais pas de limites.

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rvz

[matthias]

u_n = sin n * exp(n) ;
Et y en a plein d'autres comme ça qui ont des limsup et des liminf , mais pas de limites.

Celle-là ne doit pas avoir de lim sup ni de lim inf dans R. Elle n'est ni majorée ni minorée.

[invite6b1e2c2e]

Les limsup et liminf sont définies dans , c'est-à-dire qu'elles peuvent prendre les valeurs + et - infini.

__
rvz

[matthias]

On les définit où on veut. Dans c'est effectivement plus pratique puisque lim sup et lim inf sont toujours définis, mais tu risques d'embrouiller christophe qui s'était limité aux suites réelles bornées.

[martini_bird]

Salut,

Les limsup et liminf sont définies dans

Mouais, je pinaille, mais ce n'est pas nécessaire: on peut très bien se contenter de IR.

Bon ok, c'est pas le post le plus intéressant du fil...

Cordialement.

EDIT: grillé...

[christophe_de_Berlin]

Merci de toutes les réponses, je crois que je commence à piger.
C´est le truc avec l´image des plusieurs limites qui m´a aidé. Effectivement, si une suite est ou périodique ou change de signe tout en ayant une valeur absolue qui tent vers l´infini, la valeur sup ou inf semble bien décrire le phénomène. Le truc avec + ou + infini ne m´a pas embrouillé.