Approximation, développement asymptotique - Fonction Bessel

Lévesque · 28/01/2006 - 08h33

Bonjour,

je révise mes notes de cours en Théorie des Perturbations, et je n'arrive pas à ce qui est écrit dans mes notes... C'est tellement simple comme calcul, que je ne vois pas mon erreur. C'est un exemple pour montrer que le développement asymptotique peut donner de meilleurs résultats que la série infinie.

Voilà.

La fonction $J_0(z)$ peut se définir par une somme infinie:

$J_0 \left( {1/z} \right) \equiv \sum\limits_{k \ge 0} {{{\left( { - 1} \right)^k z^{ - 2k} } \over {2^{2k} \left( {k!} \right)^2 }}}$

Son développement asymptotique est donné par

$J_0 \left( {1/z} \right) \sim \sqrt {{{2z} \over \alpha }} \left( {\alpha \left( z \right)\cos \left( {{1 \over z} - {\pi \over 4}} \right) + \beta \left( z \right)\sin \left( {{1 \over z} - {\pi \over 4}} \right)} \right)$ ,

pous z assez grand, avec ${\alpha \left( z \right)}$ et ${\beta \left( z \right)}$ des séries divergentes.

Mon prof illustre ensuite le comportement de l'approximation de la série si on la coupe avant l'infini. Cela revient à évaluer le reste défini comme la série infinie mois les termes qui manquent (parce qu'on coupe à N<infini):

$R_N \left( {1/z} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k \left( z \right)^{ - 2k} } \over {2^{2k} \left( {k!} \right)^2 }} - } \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{{\left( { - 1} \right)^k \left( z \right)^{ - 2k} } \over {2^{2k} \left( {k!} \right)^2 }}}$

D'après ses résultats (s'ils sont bons), il trouve que pour z=15, le reste augmente avec N, jusqu'à N=10 environ, puis diminue jusqu'à une valeur pratiquement nulle à N=30 environ. Il lui reste à montrer qu'on fait une aussi bonne approximation avec moins de termes par le développement asymptotique.

Or, lorsque je programme le reste en fonction de N, je trouve $3x10^{-7}$ pour N=3, et assez petit pour que Mathematica indique 0. à N=6. Le reste que JE calcul diminue beaucoup plus vite que celui de mon prof, et beaucoup plus vite que celui du développement asymptotique.
C'est pas normal tout ça...

Quelqu'un voit un problème? Quelqu'un peu m'aider?

Merci beaucoup à l'avance.

Simon

PS: voici mon expression du reste(N,Z) en language Mathematica, au cas ou j'aurais fait une erreur que je ne vois vraiment pas:
In(1): Reste[n_, z_] := Sum[((-1)^k (z)^(2k))/(2^(2k)(k!)^2), {k, 0, Infinity}] - Sum[((-1)^k (z)^(2k))/(2^(2k)(k!)^2), {k, 0, n - 1}]

In(2):Table[Reste[n,1/15],{n,0,10}]//N

Out(2): (0.998889197492763, -0.001110802507237052, 3.0860387406998294*^-7, -3.810129760776037*^-11, 2.7617454674163618*^-15, 0.`, 0.`, 0.`,1.8099691943947416*^-16, 0.`, -1.6199032837520655*^-16)

martini_bird · 28/01/2006 - 10h41

Salut,

comme mathematica connaît les fonctions de Bessel tu peux peut-être essayer de remplacer

Code:

Sum[((-1)^k (z)^(2k))/(2^(2k)(k!)^2), {k, 0, Infinity}]

par

Code:

BesselJ[0,z]

Je ne vois pas trop, mais mathematica se choucroute peut-être avec la série infinie?

Cordialement.

Lévesque · 28/01/2006 - 11h27

Malheureusement, ce n'est pas ça. Regarde:

Envoyé par Mathematica

In[10]:=
Sum[((-1)^k (z)^(2k))/(2^(2k)(k!)^2),{k,0,Infinity}]

Out[10]=
BesselJ[0,z]

Il la reconnait bien... Tu vois, c'est tellement simple comme calcul que ça devrait marcher. J'ai essayé de remplacer la somme par BesselJ, et j'obtient exactement (disons, par rapport à la précision de ma machine) les mêmes valeurs numériques:

Envoyé par Mathematica

In[11]:=
Reste1[n_,z_]:=BesselJ[0,z]-Sum[((-1)^k (z)^(2k))/(2^(2k)(k!)^2),{k,0,n-1}]

In[12]:=
Table[Reste1[n,1/15],{n,0,10}]//N

Out[12]={0.998889197492763`,-0.001110802507237052`, 3.0860387401077105`*^-7, -3.81012998929009`*^-11, 2.6645352591003757`*^-15, 0.`, 0.`, 0.`,1.1102230246251565`*^-16, -1.1102230246251565`*^-16, -1.1102230246251565`*^-16}

J'aimerais vraiment beaucoup trouver mon problème... Grrr!

Merci mb!

Simon

Meumeul · 28/01/2006 - 14h39

j'ai l'impression que le z=15 de ton cours s'est transformé en z=1/15 dans ton calcul

Lévesque · 28/01/2006 - 15h46

Envoyé par Meumeul

j'ai l'impression que le z=15 de ton cours s'est transformé en z=1/15 dans ton calcul

Youpi!!!!!!!!!

J'ai commencé par répondre à ta question en croyant que c'était pas ça le problème. J'ai fait du code pour te le donner ici et te montrer que ce n'était pas ça. Je calculais jusqu'à N=10, et je trouvais que le reste augmente toujours jusqu'à N=10 pour atteindre 35000!!! Je te répondais alors que ça divergeais dans ce cas. En relisant, j'ai vu N=10, et j'ai décidé de bien vérifier avant d'envoyer. J'ai changer pour N=30 et le reste diminue!!!

Jme doutais bien que c'était rien!

Merci infiniment!

Simon