Fonctions vectorielles

Bleyblue · 29/01/2006 - 14h25

Bonjour,

J'aurais besoin de votre aide pour savoir si j'ai bien comprit les quelques petites choses que j'ai apprises ces derniers temps au cours à propos des fonctions vectorielles

Si j'ai une fonction
$g:\Re \to \Re^n : x \to (f_1(x),f_2(x),f_3(x), ..., f_n(x) )$
j'ai une fonction vectorielle à variable réelle

Par contre si j'ai une fonction
$h:\Re^n \to \Re : (x_1,x_2,x_3,...,x_n) \to f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$
j'ai une fonction réelle à variable vectorielle

N'est-ce pas ?

La dérivée de la fonction g (si elle existe) se définit comme la fonction vectorielle à variable réelle :

$\frac{d}{dx} g:\Re \to \Re^n : x \to (\frac{d}{dx}f_1(x),\frac{d}{d x}f_2(x),\frac{d}{dx}f_3(x), ..., \frac{d}{dx}f_n(x) )$

Les dérivées partielles (si elles existent) de la fonctions h se définissent de la manière suivante :

$\frac{\partial}{\partial x_1}h = \frac{d}{dx_1}f(x_1,x_2,x_3,.. .,x_n)$

...

$\frac{\partial}{\partial x_n}h = \frac{d}{dx_n}f(x_1,x_2,x_3,.. .,x_n)$

J'espère que je ne me suis trompé nul part jusque la (ça serait grave

) ?

merci

matthias · 29/01/2006 - 14h35

Envoyé par Bleyblue

$\frac{\partial}{\partial x_1}h = \frac{d}{dx_1}f(x_1,x_2,x_3,.. .,x_n)$

...

$\frac{\partial}{\partial x_n}h = \frac{d}{dx_n}f(x_1,x_2,x_3,.. .,x_n)$

Euh non, ici ta fonction f et ta fonction h sont identiques ... Donc d rond pour h => d rond pour f.
Il faudrait introduire une fonction d'une seule variable pour chaque point où tu veux dériver, en fixant les autres variables. Comme ça tu peux dériver tranquillement une fonction réelle d'une variable réelle.

Bleyblue · 29/01/2006 - 15h09

Oui j'avais bien comprit c'est une erreur de notation (saurais-tu par hasard d'où vient le d rond ? Je me suis toujours posé la question ...)

Sinon j'en viens à la question principale qui m'a poussé à ouvrir ce topic :

Si j'ai une fonction de $\Re^n \to \Re^k$ (n et k sont natuels)

Comment se défrive t'on la fonction ?

Je prend un exemple (produit d'un vecteur par un scalair dans R&#178

:

$f:\Re^3 \to \Re^2 : (\lambda,x,y) \to (\lambda x, \lambda y)$

Comment dois je faire pour dériver f ? Je sens bien qu'on va avoir un mélange des deux méthodes dont j'ai parlé mais je n'arrive pas bien à comprendre comment ...

Moi je ferais ça comme ça, si e1 et e2 sont les deux vecteurs unités du "repère d'arrivée" (c'est une expression que je viens d'inventer mais je n'ai rien trouver de mieux)

$\frac{\partial \vec f}{\partial x} = \lambda \vec e_1 + 0\vec e_2$

$\frac{\partial \vec f}{\partial y} = 0 \vec e_1 + \lambda \vec e_2$

$\frac{\partial \vec f}{\partial \lambda} = x \vec e_1 + y \vec e_2$

non

?

merci

rvz · 29/01/2006 - 16h35

C'est exactement ça.
En fait, tu dis qu'une fonction
$f : R^n -> R^k$
peut être donnée comme k applications coordonnées.
$f_j :R^n-> R$
Et là, tu définis les dérivées comme avant.

Une autre manière de faire.
Dire que la dérivée est une application linéaire $L:R^N->R^k$ avec
$f(x+h)-f(x)=L(h) + o(\|h\|)$
où o est une fonction qui tend vers 0 quand r tend vers 0.
Il est facile de voir que l'application linéaire L est encore uniquement défini. Le reste se fait comme pour les dérivées classiques.

__
rvz

matthias · 29/01/2006 - 16h41

Il doit y avoir des cours de calcul différentiel dans la bibliothèque de maths si ça t'intéresses Bleyblue.

Bleyblue · 29/01/2006 - 19h43

Envoyé par rvz

C'est exactement ça.

Ah super merci.

Envoyé par matthias

Il doit y avoir des cours de calcul différentiel dans la bibliothèque de maths si ça t'intéresses Bleyblue.

Oui ça m'intéresse bien sûr mais je n'aime pas trop lire un document sur l'écran moi (je préfère le papier)
J'ai aussi mon propre cours de math mais la partie analyse n'est pas assez complète à mon goût (oui oui même si je n'ai pas bien comprit certaine choses comme la définition formelle d'un intégrale curviligne, le gradient et la convergence uniforme ...)

merci !