égalité asymptotique de deux matrices et propriétés spectrales

[julien_4230]

Bonjour à tous.

Si e est le vecteur colonne avec ses coef tous égaux à 1, mettons que j'aie, pour A et B deux matrices de taille N par N, positives et irréductibles (plus haute valeur propre = rayon spectrale, et premier vecteur propre associé est > 0 composante par composante) :

(composante par composante), ( est la matrice avec des 1 partout) lorsque N tend vers +oo.

Que puis-je dire sur les propriétés spectrales de A par rapport à B ? Je connais la fameuse conjecture de Horn, mais je pense que l'on ne puisse pas l'appliquer ici ?
Y a-t-il des cas de non continus, du genre quand on est au voisinage de l'infini on peut avoir des valeurs propres de A tout de même assez différentes de celle de B, puis qui sautent carrément lorsqu'il y a égalité ?

Merci bien !

Sincèrement,
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[julien_4230]

Je reformule.
Les propriétés spectrales de A sont inconnues. Celles de B le sont.
Dans la limite N->+00, que peut-on dire des propriétés spectrales (donc asymptotiques) de A par rapport à celles de B ?
A bientôt !

[Tryss]

Quand tu es en dimension finie, il me semble que tout se passe bien, le spectre est continu.

[julien_4230]

Merci pour la réponse !
Est-ce que vous auriez une quelconque source bibliographique de ceci ?

Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Hum, en fait je dis peut être des bêtises, car a la limite tu es en dim infinie, et il faudrait que j'y réfléchisse un peu (je n'avais pas trop fait attention au fait que la taille des matrice variait)

Et quand j'ai dit "le spectre est continu", je voulais dire, l'application M -> spectre(M) est (dans un certain sens) continue, et non pas "spectre continu" au sens usuel


Maintenant, à N fixé, on a le résultat suivant :

Le spectre d'une famille continue de matrices est continu, au sens suivant: soit une famille continue de matrices carrees,
définie dans un ouvert U d'un espace métrique X. Soit de multiplicité m, alors pour tout , on peut trouver tel que si , alors M(x) a m valeurs propres dans (en tenant compte des multiplicités)

Corollaire 3 de http://www.math.jussieu.fr/~texier/n...ouche-dec8.pdf

Donc, à N fixé, si A n'est pas trop loin de B, le spectre de A n'est pas trop loin du spectre de B.

[toothpick-charlie]

en tout cas la valeur propre non nulle de la matrice ee' d'ordre n est n. Je sais bien qu'il n'y a pas d'additivité ici, mais on peut s'attendre à ce que ça diverge, un o(ee') ça n'est peut-être pas assez petit.

[julien_4230]

Super ! J'ai enfin des réponses !

Ce document est vraiment ce qu'il me fallait. A vrai dire que je peux changer le en ( : ordre de la matrice) selon la définition que je choisis (trop long à expliquer).
Cette définition doit concorder avec le fait de trouver à peu près le même spectre.

Merci encore ! Je me demande ce qu'il en est lorsque est au voisinage de ???

[julien_4230]

Je peux changer le même en , mais là c'est un choix à faire qui doit être le bon.

Alors avez-vous une suggestion ?

[julien_4230]

Non mais... Ca ressemble énormément à la théorie des perturbations ça, en mécanique quantique...

Se prend-t-on la tête pour rien ?!