Statistique : reformulation mathematique

[jb123]

Bonjour,

1/ CONTEXTE :
Je cherche a ajuster une fonction quadratique en utilisant un modèle bayésien :

y=a*x^2+b*x + c

Mes priors :
a ~Normal(mu<0, variance1)
c ~Normal(mu>0, variance2)

De plus, je sais que ma fonction a un discriminant strictement positif... elle a donc deux solutions. Je ne connais pas ces solutions mais je peux les approximer avec s1 et s2. D’où les inégalités suivantes :

1-- s1>s2
2-- s1<= (-b-racine(b^2-4ac)/(2a)
3-- s2>= (-b+racine(b^2-4ac)/(2a)

2/OBJECTIF :
Je cherche donc à exprimer b en fonction (a,c,s1,s2), afin de contraindre encore plus mes priors.

3/PROBLEME :
Je patine sur un truc tout con (une vieille lacune du lycée voire collége)...
-b-sqrt(b^2-4ac)>=2as1

Comment extraire le b de sqrt(b^2-4ac) ? Sans passer par les nombres imaginaires ?

Merci de vos lumières.







donc je cherche a exprimer le
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[gg0]

Bonjour.

Tu ne dis rien de tes coefficients, par exemple a est-il positif ? S'il est négatif, de "s1<= (-b-racine(b^2-4ac)/(2a)" tu ne déduis pas "-b-sqrt(b^2-4ac)>=2as1"; encore moins si son signe est inconnu.

Une piste éventuelle : la somme des deux racines est -b/a, leur moyenne -b/(2a).

Une remarque méthodologique : prendre pour a une variable Normale pose problème, car pour un très faible variation de â, les modèles sont inversés : par exemple parabole vers le haut pour â=0,000001 mais parabole vers le bas pour â=-0,000001. on peut éventuellement le faire cependant si on sait d'avance le signe de â et qu'il est extrêmement improbable que a soit de signe opposé.

Cordialement.

[jb123]

Bonjour gg0,

Tout d'abord merci de la rapidité de ta réponse.

1/ SIGNES DES COEFFICIENTS :
Je connais le signe de certains coefficients comme je l'indique dans mon message

- le coefficient "a" suit une loi normale de moyenne supérieur à 0 et de variance 1, comme je l'indique dans la partie

a ~Normal(mu<0, variance1) donc negatif
c ~Normal(mu>0, variance2) donc positif

2/REFLEXION ANNEXE
Pendant, je t’écris cela... je me rends compte qu'utiliser une loi normale tronqué n'est pas forcement le plus intelligent... il faut que je creuse cette piste. Il faut trouver que je trouve les priors conjugés d'un posterior normal définie sur ]0,+infini] et [-infini,0[.

3/TOUJOURS DANS LA MOUISE
Mais je n'ai toujours pas trouver comment exprimer b =f(a,c,s1,s2)... a partir du système d'inégalités...
Je posterais ma réponse, si j'en trouve une.

[gg0]

Si a est clairement négatif (*), alors de
s1<= (-b-racine(b^2-4ac)/(2a)
tu déduis
2a s1 >=-b-racine(b^2-4ac) (1)
Si a et c sont clairement de signes contraires , les deux racines sont de signes contraires, donc s1 >0 et les deux membres doivent être négatifs, ce qui impose :
-b-racine(b^2-4ac)<0
b+racine(b^2-4ac)>0
b>-racine(b^2-4ac)
Donc soit b>=0, soit b<0 et, en élevant au carré : b²<b²-4ac ce qui est vrai puisque ac<0
Donc on peut réécrire (1) sous la forme
2a s1 +b >= -racine(b^2-4ac) (2)
Là encore on a deux cas :
* 2a s1+b >=0 C'est à dire b>= - 2a s1. C'est tout ce qu'on peut dire
* b< - 2a s1. Dans ce cas les deux membres de (2) sont négatifs, et on peut élever au carré et obtenir une inéquation simple. Ne pas oublier que a s1 <0

Amuse-toi bien !!!



(*) tu dis cela et son contraire dans ton message

[A voir en vidéo sur Futura]

[jb123]

Parfait... merci pour le coup de main.