Approximation de la longueur d'une ellipse, par Herbiti et Bleyblue

[Bleyblue]

Bonjour,

Herbiti et moi avons passé un petit temps ce matin à essayer de calculer le périmètre approximatif d'une ellipse au moyen d'intégrales curvilignes et de méthodes d'intégration numérique

Soit donc une ellipse :

(a > 0, b > 0)

on a la paramétrisation lisse :





On cherche la longueur de l'ellipse soit :



avec

Et donc :



Jolie petite intégrale elliptique qu'on va essayer d'approximer avec la méthode des points médiants (la seule technique d'intégration numérique que nous connaissons malheureusement ...)

On va donc approximer avec des sommes de Riemann, prenons 6 rectangles (ça n'est pas des masses mais les valeur sur lesquels on tombe alors pour sont toutes remarquables ce qui simplifie les calculs) :





En prenant la moitié de chaque intervale comme hauteur pour les rectangles on a :



Et donc si



Je vous passe les détails des calculs (il suffit d'injecter les différents xi dans la fonction) :



Et voilà ce sur quoi nous sommes tomber la tantôt

Herbiti à même remarqué que dans le cas a = b = (c'est à dire dans le cas d'un cercle de rayon r = a = b) on retombait sur :

Le seule problème c'est que nous ne savons pas comment évaluer la précision de notre approximation
En cherchant sur internet on trouve d'autres valeurs.

(exemple : http://www.mathcurve.com/courbes2d/e.../ellipse.shtml)

Auriez-vous un idée sur la manière dont on pourrait s'y prendre pour savoir si notre approximation est "bonne" ?

Nous avons supposé qu'au plus a et b étaient grands au plus l'approximation était mauvaise sans pouvoir le démontrer ...

merci
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[Bleyblue]

Notre approximation semble concorder avec celle de Ramanujan si on essaie de donner des valeurs à a et b.

Mais il y a tout de même une petite différence qui augmente lorsque a et b augmentent.

Je suppose que c'est notre approximation qui est la moins précise ? Savez vous comment Ramanujan a fait pour trouver la sienne ?

merci

[erik]

Savez vous comment Ramanujan a fait pour trouver la sienne ?

A ma connaissance Ramanujan à donné des milliers de résultats, mais pas de démonstrations.

[invite3c81b085]

Comme je l'avais dit à Bleyblue, je l'ai fait avec 12 rectangles au lieu de 6.
L'approximation est la suivante:

Bien à vous

PS: Je l'ai aussi fait avec 24, mais la formule prend trois lignes

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Super, je viens de commencer à le faire moi

Je pense qu'avec 12 rectangles ça sera suffisant mais il faudrait tout de même qu'un jour on arrive à calculer l'erreur commise avec nos approximations

Au pire si personne ne sait on peut aller demander aux assistants voir même au professeur lui même ...

P.S. : Tu peux scinder ta formule Latex en deux parce que ton message est trop large sinon

[matthias]

Je pense qu'avec 12 rectangles ça sera suffisant mais il faudrait tout de même qu'un jour on arrive à calculer l'erreur commise avec nos approximations

A l'évaluer. Parce que si tu sais la calculer exactement alors tu n'as plus besoin d'approximation
Il faut réussir à majorer la différence entre l'intégrale et son approximation.
Mais plutôt que de multiplier le nombre de rectangles, il vaut mieux choisir une autre méthode. Il me semble que la méthode de Simpson donne une erreur en 1/n^4 ce qui est déjà pas mal.

[invite3c81b085]

Voilà l'image pour 24

[Bleyblue]

A l'évaluer. Parce que si tu sais la calculer exactement alors tu n'as plus besoin d'approximation

Ah oui en effet

Mais plutôt que de multiplier le nombre de rectangles, il vaut mieux choisir une autre méthode. Il me semble que la méthode de Simpson donne une erreur en 1/n^4 ce qui est déjà pas mal.

Oui je suis occupé à essayer avec 12 rectangles et c'est assez affeux comme calculs (Herbiti lui bien sûr a déja la formule pour 24 rectangles )

En 1/n^4 cela veut dire quoi exactement ? Que si on prend n rectangles (je ne connais pas encore la méthode de Simpson donc je suppose que n désigne le nombre de rectangle) l'erreur sera inférieur à 1/n^4 ?

merci

[matthias]

En 1/n^4 cela veut dire quoi exactement ? Que si on prend n rectangles (je ne connais pas encore la méthode de Simpson donc je suppose que n désigne le nombre de rectangle) l'erreur sera inférieur à 1/n^4 ?

Sauf que justement, il n'y a plus de rectangles Mais la logique est la même, tu découpes ton intervalle en n parties égales.
Quand on dit qu'un algorithme donne une erreur en 1/n^4, ça signifie en O(1/n^4), donc ça ne te permet pas en soi d'évaluer l'erreur (constante non définie), mais l'efficacité de l'algorithme. Quelque soient les constantes un algo avec une erreur en 1/n^4 convergera plus vite qu'un algo avec une erreur en 1/n², même si l'erreur pourrait être plus grande sur les premiers termes.

Sinon ce qu'il faut voir, c'est que la méthode des rectangles consiste à faire une interpolation polynomiale de degré 0 (constante) sur chaque sous-intervalle. La méthode des trapèzes, c'est une interpolation polynomiale de degré 1 (encore très simple à faire, et un peu meilleur). La méthode de Simpson c'est une interpolation polynomiale de degré 2 (des bouts de paraboles donc).

Il y a aussi la méthode de Gauss qui utilise les zéros des polynomes de Legendre, mais c'est un peu plus compliqué et pas pratique du tout pour des calculs à la main. Par contre les résultats sont généralement très bons.

[Bleyblue]

Quand on dit qu'un algorithme donne une erreur en 1/n^4, ça signifie en O(1/n^4), donc ça ne te permet pas en soi d'évaluer l'erreur (constante non définie), mais l'efficacité de l'algorithme. Quelque soient les constantes un algo avec une erreur en 1/n^4 convergera plus vite qu'un algo avec une erreur en 1/n², même si l'erreur pourrait être plus grande sur les premiers termes.

Ah oui ... en fait je devrais savoir ça vu que j'ai un cours de programmation qui vient de se terminer, mais avec un 5/20 à l'examen tu penses bien

Sinon ce qu'il faut voir, c'est que la méthode des rectangles consiste à faire une interpolation polynomiale de degré 0 (constante) sur chaque sous-intervalle. La méthode des trapèzes, c'est une interpolation polynomiale de degré 1 (encore très simple à faire, et un peu meilleur). La méthode de Simpson c'est une interpolation polynomiale de degré 2 (des bouts de paraboles donc).

Ah oui je vois le truc, on augmente la précision en augmentant le degré des approximations
Sinon eh bien ces méthodes sont expliquées dans mon livre d'analyse donc je ne vais normalement pas tarder à les connaîtres et je pourrai expérimenter ...

merci !

[invite3c81b085]

Merci Matthias pour ton aide
BleyBlue me l'expliquera quand il l'aura expérimenté

Merci

[Bleyblue]

J'obtiens la même chose que toi pour l'approximation avec les douze rectangles Herbiti, mais le temps et les calculs que ça m'a prit ...

Toi tu as été faire la même chose avec 24 rectangles

[invite3c81b085]

je l'ai fait avec 48 aussi

[Bleyblue]

On aurait pu se simplifier la vie en calculant :



plutôt que :



Crétins que nous sommes ...

[invite3c81b085]

nous sommes crétins, nous avons perdu notre temps :'(

[Bleyblue]

Non nous sommes crétins parceque nous n'avons pas réfléchit avant de nous lancer dans nos calculs.

Pour info je viens de retrouver la formule pour 12 rectangles en même pas 10 minutes.

Le pire c'est qu'on se rendait compte en intégrant de 0 à 2pi qu'on retombait à chaque fois sur les mêmes valeurs pour et que pas un instant nous ne nous somme dit qu'il devait y avoir une symétrie quelque part

Que ça nous serve de leçon ...

[invite3c81b085]

Tu as entièrement raison

[matthias]

Au fait si vous voulez vraiment évaluer l'erreur, vous trouverez les formules relativement simples sur Wikipedia. Ca peut vite devenir pénible si on veut calculer le sup d'une des dérivées, mais ça aussi ça peut se majorer.

[Bleyblue]

Ok merci bien,

C'est aussi expliqué dans mon livre d'analyse je pense mais je n'y suis pas encore ...