Bonjour,
Voila nous avons vu en cours la définition de face d'un convexe K de R^d.
Il est dit qu'une face de K est soit le vide soit K (jusqu'à la tout va bien) soit H intersection K où H est un hyperplan dont un des 2 demi-espaces fermés contient K.
Pourriez vous me donner un exemple illustrant le dernier point ?
Merci
Bonjour.
Es-tu sûr qu'il s'agit bien d'un "convexe" ? Car une sphère de R3 est convexe mais n'a aucune face.
Sinon, tu peux penser aux polyèdres convexes de R3. Pour un cube, par exemple, chaque face est l'intersection du cube avec un plan. Le demi-espace fermé limité par ce plan et qui contient le centre du cube contient tout le cube. Fais un dessin ...
Cordialement.
Merci
Oui absolument mais cela reste encore vrai les faces de la sphère de R^3 seront le vide.
Par contre cette phrase m'est obscure: " Le demi-espace fermé limité par ce plan et qui contient le centre du cube contient tout le cube" je ne vois pas pourquoi ce demi-espace fermé contiendrait tout le cube ???!!!
Merci encore
Quel sens donnes-tu à "convexe" ?Envoyé par gg0
If your method does not solve the problem, change the problem.
Ah ? Pourquoi pas des points ? Quelle est la définition d'une face ?Merci
Oui absolument mais cela reste encore vrai les faces de la sphère de R^3 seront le vide.
Fais un dessin ! avec un cube et le plan d'une des six faces du cube.Par contre cette phrase m'est obscure: " Le demi-espace fermé limité par ce plan et qui contient le centre du cube contient tout le cube" je ne vois pas pourquoi ce demi-espace fermé contiendrait tout le cube ???!!!
Cordialement.
Seirios,
effectivement, j'aurais dû dire boule, ou pas peur d'être mal compris, une sphère et son intérieur.
mais je suis d'une génération où le mot sphère désignait aussi bien la surface que le volume limité par cette surface. Et on parlait sans souci de "volume de la sphère" sans trop de risque.
Cordialement.
NB : Pour le cube, on continue à le faire ! Parlais-je de la surface ou du volume ?
Dernière modification par gg0 ; 16/01/2014 à 13h10.
Les remarques de gg0 sont justes mais il est bon de preciser un petit detail: avec la definition de math123, les arretes et les sommets du cube sont aussi des faces! En fait, en dimension d quelconque, les faces peuvent avoir n'importe quelle dimension (la dimension d'un ensemble convexe etant la dimension de l'espace affine qu'il engendre) et on appelle facettes les facettes de codimension 1 (si elles existent - la boule n'ayant pas de facettes); alors qu'en dimension 3, on adopte la terminologie "sommet" (dimension 0), "arrete" (dimension 1) et "face" (dimension 2) pour les faces.
La sphere n'est effectivement composee que de sommets!
Un autre exemple interessant: consider l'ensemble convexe K obtenu un prenant un rectangle ABCD et en ajoutant un semi-disque de diametre [A,B] de sorte que l'intersection soit [A,B]. Cela ressemble a une borne kilometrique (il y a un dessin page 30a dans "Convex polytope" de Grunbaum - une reference sur le sujet). Il est facile de voir que:
-> le segment [A,B] est une face de K.
-> A est une face de [A,B].
-> A n'est pas une face de K.
Donc une face d'une face n'est pas necessairement une face!
Ok !
Je vois mieux de quoi il est question.
Cordialement.
