Calcul d'intégrale

[Elodie-C]

Bonjour tout le monde
Je n'arrive pas à résoudre un problème qu'on a eu en cours prière de me venir en aide
Calcul de l'intégrale de 0 à pi de exp(-x)/(x²+1) dx
Tout d'abord, on démontre que l'intégrale de 0 à pi de e(-rsin(t)) <= pi/r
Jusque là tout est bon.
Après, on devrait utiliser le résultat pour calculer la première intégrale en intégrant sur une fonction appropriée le long d'un contour qu'on choisit, et c'est ce que je n'arrive pas à résoudre.
On devrait travailler avec les résidus.
Merci pour vos réponses.
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[Elodie-C]

Petite rectification: l'intégrale allant de 0 à + l'infini!

[Noct]

Le changement de variable semble être la méthode naturelle pour y parvenir

[Elodie-C]

@Noct: Je ne vois pas très bien comment procéder.
Si vous pouviez me spécifier le contour sur lequel travailler et pour quelle raison choisir tel ou tel contour

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Bonsoir,

Je n'ai pas fait le calcul mais voici ce que je peux dire néanmoins. Il faut commencer par déterminer les pôles de la fonction méromorphes . On a donc un pôle en i et -i.
L'idée est maintenant de trouver une famille de chemins dépendante d'un paramètre réel telle que :
- l'intégrale soit facile à calculer avec le théorème des résidus. Pour cela on prend souvent des chemins qui entourent certaines pôles de la fonction à intégrer.
- . Ici la majoration que tu as déterminée va sûrement intervenir.

[Elodie-C]

Justement tiky, il faudrait encore déterminer ce chemin... prendre un demi cercle, un rectangle?
Donc oui, on devrait aboutir à cette égalité, mais comment?

[topmath]

Bonsoir à tous :Bonsoir à tous :

Bonjour tout le monde
Je n'arrive pas à résoudre un problème qu'on a eu en cours prière de me venir en aide
Calcul de l'intégrale de 0 à pi de exp(-x)/(x²+1) dx
Tout d'abord, on démontre que l'intégrale de 0 à pi de e(-rsin(t)) <= pi/r
Jusque là tout est bon.
Après, on devrait utiliser le résultat pour calculer la première intégrale en intégrant sur une fonction appropriée le long d'un contour qu'on choisit, et c'est ce que je n'arrive pas à résoudre.
On devrait travailler avec les résidus.
Merci pour vos réponses.

Si la fonction on premier lieux vous devez montrez que cette intégrale est convergent .Pour les singularités vous avez il est claire que n’appartiens pas aux demis plans supérieure , donc rejeter on garde uniquement maintenant calculez .

Cordialement

[Elodie-C]

Oui, donc on devrait choisir un contour sur lequel intégrer contenant i et faire les calculs nécessaires. C'est sur cette partie que je bloque.
Je n'arrive pas à atteindre l'étape ou intervient la relation démontrée au début. Forcément pour annuler une certaine composante d'un chemin, mais c'est ce chemin en premier lieu que je n'arrive par à déterminer.

[topmath]

Bonsoir à tous :

Oui, donc on devrait choisir un contour sur lequel intégrer contenant i et faire les calculs nécessaires. C'est sur cette partie que je bloque.
Je n'arrive pas à atteindre l'étape ou intervient la relation démontrée au début. Forcément pour annuler une certaine composante d'un chemin, mais c'est ce chemin en premier lieu que je n'arrive par à déterminer.

Pourquoi cherchez le contour puisque on travail dans le demi plans supérieur c-a-d encore le soucis est de calculez faite attention à votre intégrale est de 0,+inf pensez à divisez le second membre apres calcule de lintégrale par deux ;

Cordialement

[Elodie-C]

Ma question maintenant c'est comment trouver cette égalité: \lim_{r \to +\infty} \int_{\gamma_r} \frac{\exp(-z)}{z^2+1} dz = \int_0^{+\infty} \frac{\exp(-x)}{x^2+1} dx
Si c'est possible de rédiger les calculs ce serait bien.
Merci pour votre temps.

[topmath]

Bonjour à tous :

Ma question maintenant c'est comment trouver cette égalité: \lim_{r \to +\infty} \int_{\gamma_r} \frac{\exp(-z)}{z^2+1} dz = \int_0^{+\infty} \frac{\exp(-x)}{x^2+1} dx
Si c'est possible de rédiger les calculs ce serait bien.
Merci pour votre temps.

Si est une singularité simple on peut utiliser cette formule générale bon si maintenant est un pole simple la formule ce réduit en car ;

Calculant le résidus en est

j'ai pas encore terminer car est borner entre 0,+inf de plus je trouve que f n'est ni paire ni impaire pour pouvoir passer à la limite et par conséquent donner le résultat finale ;

Cordialement

[Elodie-C]

Bonjour
Pour avoir l'intégrale sur f(x)dx égale au 2iRes(f,Z1) Ne faudrait t il pas que cette intégrale soit sur un contour fermé? par exemple le rectangle x=R, x=-R, y=0, y=, et puis après on passe à la limite.
Encore merci.

[Tiky]

Le résultat de topmath est forcément faux comme tu l'as remarqué. L'intégrale d'une fonction à valeur réelle doit être un réel ! n'est pas un réel. Il faut effectivement que l'indice du pôle i par rapport au chemin choisi soit non nul.

[Elodie-C]

Voilà, donc il reste à déterminer le chemin et, je pense, utiliser la première inégalité pour annuler certaines intégrales sur des parties de ce chemin afin de ne garder que l'intégrale que l'on veut calculer.

[topmath]

Bonsoir à tout suite à :

Le résultat de topmath est forcément faux comme tu l'as remarqué. L'intégrale d'une fonction à valeur réelle doit être un réel ! n'est pas un réel. Il faut effectivement que l'indice du pôle i par rapport au chemin choisi soit non nul.

Effectivement j'ai oublié la partie imaginaire de ce résultat c-a-d-q: on sais que



Maintenant Si égalisant terme à terme :




On égalisant 1)-

2)-


Remarque importante :Dans l'énoncé que je cite

Petite rectification: l'intégrale allant de 0 à + l'infini!

pour cette intégrale on ne peut jamais le calculez sur 0,+inf car n'est ni paire ni impaire , en revanche moi je l'est calculez sur -inf,+inf , comme vous pouvez confirmer ça sur n'importe qu'elle éxo sur le calcule des intégrale à valeur réel pour les fonction réel , utilisant la méthode des résidus de borne o,+inf ces fonctions sont toujours paire.

Cordialement