Bonjour à tous.
Voici un problème que je trouve sympathique que j'aimerais vous soumettre.
Soient (a1,...,an) et (b1,...,bn) deux familles finies de nombres réels tels que :
Sum(ai^2) = Sum(bi^2) = 1,
Pour tout i, 0<min(ai)<1/sqrt(n)<max(ai)<1, et :
Sum(ai*bi) = 0.
Dans quelles conditions a-t-on : Sum(bi)=0 (ou tend vers 0 avec n, càd qu'on rajoute des nombres de telle sorte à ce que les trois conditions soient respectées) ?
À bientôt!
Bonjour
Pour n = 2, la condition Sum(bi)=0 entraine b1 = - b2, ce qui entraine, avec Sum(ai*bi) = 0 que a1=a2, ce qui interdit 0<min(ai)<1/sqrt(n)<max(ai)<1, donc pas de solution ; Est-ce que vous cherchez des conditions sur n ou sur les ai ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
En fait j'ai l'impression que ça devient vrai pour n grand....
Vous pourriez me l'argumenter ou démontrer au mieux ?
Excusez-moi mais l'inégalité n'est pas stricte avec le 1/sqrt(n), donc la condition n'est pas violée et est donc vraie (mais votre raisonnement est l'inverse)
Je réécris sous LaTeX :
Voici un problème que je trouve sympathique que j'aimerais vous soumettre.
Soientet
Pour tout i,
Dans quelles conditions a-t-on :
Il suffit de poser, et on peut trouver plein d'exemples
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci de votre réponse, qui implique une reformulation du problème.
Voici un problème que je trouve sympathique que j'aimerais vous soumettre.
Soient
Pour tout i,
A-t-on toujours :
J'ai l'impression que si ces trois conditions sont vérifiées, alors pour des hautes valeurs de la famille
Je ne sais pas comment démontrer ceci, ni les hypothèses précises et rigoureuses pour établir ce résultat.
Une idée ?
Vous devriez reformuler votre problème en terme de vecteurs (dimension n), de norme, de produit scalaire, cela me semble plus simple pour répondre à votre question (et même très simple)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
D'accord. J'avoue ne pas percevoir la subtilité si elle existe.
Soient donc deux vecteurs
On a les trois points :
1)
2)
3)
A-t-on toujours :
J'ai l'impression que si ces trois conditions sont vérifiées, alors pour des hautes composantes de
Je ne pense pas que cela aide, mais je reformule que si
Quel est l'ensemble des vecteurs tels que
Quel est l'ensemble des vecteurs tels que
Dernière modification par Médiat ; 28/01/2014 à 20h50.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Que veulent dire les points au dessus des vecteurs ?
Les vecteurs sont orthonormés....... et ?
Dernière modification par julien_4230 ; 28/01/2014 à 21h01.
Les points sur les vecteurs ne veulent rien dire, c'est sans doute un bug Latex.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Votre question est-elle une piste qui peut m'amener à la résolution du problème posé (ie
Vous partez d'un vecteur normé dans un espace de dimension n (que vous voulez faire tendre vers l'infini) et vous cherchez 1 vecteur qui soit orthogonal au premier et normédans un espace de dimension n ... réfléchissez à ce que cela donne avec n = 3, la généralisation est facile.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Mince ! J'ai plusieurs relations du genre :
sinon géométriquement (en dimension 3) on est sur la sphère unité, et
Suis-je dans votre direction ?
Quelle est la dimension de l'orthogonal d'un vecteur, en dimension 3 puis en dimension n ?
Quelle est la dimension de l'ensemble des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle, en dimension 3, puis en dimension n ?
Dernière modification par Médiat ; 28/01/2014 à 21h54.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bien la dimension de l'orthogonal d'un vecteur en dimension n est n-1...
Sinon il s'agit de l'intersection de l'orthogonal de l'hyperplan intersecté à la sphère unité
Il faut regarder l'intersection du plan passant par 0 et orthogonal à (1,1,1) avec le plan orthogonal à A.
Donc en nD, il faut regarder l'intersection du plan passant par 0 et orthogonal à (1,...,1) avec le plan orthogonal à A.
Mouais.... cela fait une droite...
Dernière modification par julien_4230 ; 28/01/2014 à 22h41.
En 3D, l'intersection de la sphère unité avec le plan (1,1,1) est un cercle.
Si je prends A, de composantes positives différentes, le plan orthogonal va intersecté le cercle unité contenu dans le plan (1,1,1) en deux points.
Donc les solutions sont deux points, chacun ayant la somme des coordonnées nulles, au signe près (d'où les "deux points", diamétralement opposés).
Me trompé-je ?
Dernière modification par julien_4230 ; 28/01/2014 à 22h53.
Il y a n-2 solutions (coordonnées au signe près) en dimension n, donc une infinité de solutions pour n tendant vers l'infini.
Mais je ne peux affirmer que toute solution "vecteur B" vérifie nécessairement sum(B)=0 pour n infini. N'est-ce pas ?
Bonjour,
Non, vous n'avez pas répondu aux questions de mon message N°16.Envoyé par julien_4230
A tout hasard : la condition Pour tout i,
Dernière modification par Médiat ; 29/01/2014 à 04h57.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Réponse à vos deux questions :
Dimension de l'Orthogonal d'un vecteur = 2, puis n-1.
Dimension de l'ensemble des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle = 2, n-1.
D'accord pour votre condition.
Et quelle est la dimension minimale de l'intersection de 2 sev de dimensions n-1 (dans un espace de dimension n) ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est n-2 la dimension minimale.
Donc la question est quand est-ce que ça devient n ?
ici : http://math.arizona.edu/~flaschka/To...r/527copy.html il y a un cours sur la géométrie en grande dimension. Je pense que tu pourrais y trouver des idées, pour la partie "somme des bi tend vers 0 quand n grandit".
La question c'est "est-ce que l'intersection de la sphère de rayon 1 et de cette intersection de deux hyperplans peut être vide ?" sinon vous aurez des solutions à votre problème.
Personnellement, je n'ai pas compris l'intérêt de faire tendre n vers l'infini.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La question est :
est-ce qu'on augmente la chance que
Merci pour le cours ! Mais la partie correspondante (p.24-25) ne m'aide pas vraiment car les théorème ne font pas intervenir l'hyperplan de direction (1,...,1)...
pourtant on y montre que quand la dimension de la sphère croît, la proportion de sa surface qui se trouve à une distance moindre qu'une valeur d fixée d'un plan équatorial donné tend vers 1.
C'est exact, c'est la proposition 5.1. Je pense que je n'ai pas saisi ce théorème.
Est-ce que ça veut dire que la proportion de vecteurs qui a la somme des composantes nulle tend vers 1 ?
il cite une de ses références "527 Notes, p.386" qu'est-ce que cela signifie ?
