Développement limités de fonction

[kassy225]

Bonjour tous le monde
J'ai un petit problème..
On me demande de calculer le développent limité à l'ordre n en 0 de la fonction :
f(x)=x/ln (abs (1-x))
J'ai trouvé :
f(x)=-sum(sum(x^k)/k, k=1 a n-1)^j *(-1)^j + o(x^k), k=0 a n
Mais on me donner se DL sous la forme : f(x)= sum(ak*x^k + o(k)), k=0 a n
J'aimerais savoir comment arriver à cette forme parce que je ne sais pas comment simplifier la somme que j'ai obtenu.
Dans la question d'après, on me demande de trouver a0 et a1 puis, de prouver sachant que x=f(x)*ln(1-x) que
ak=a/ (k+1)+sum(aj/(k-j+1)),k=1 a k-1 avec k=>2
Mais vu que je n'ai pas réussi la première question je ne sais pas comment faire..
J'ai vraiment besoin de votre aide svp.
Merci d'avance .
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[gg0]

Bonjour.

Il serait mieux d'avoir ton énoncé, car dire "On me demande de calculer le développent limité à l'ordre n en 0...Dans la question d'après, on me demande de trouver a0 et a1 " est assez bizarre, puisque ce sont des termes du DL.

Sinon, pour passer d'une forme à l'autre, il suffit de faire du calcul polynomial classique. pas très amusant, car les puissances de polynômes deviennent vite pénibles à calculer.
D'ailleurs ta formule f(x)=-sum(sum(x^k)/k, k=1 a n-1)^j *(-1)^j + o(x^k), k=0 a n pose au moins deux problèmes : k a deux significations, donc une de trop pour une variable honnête, et le j n'est pas défini.

Cordialement.

NB : Au voisinage de 0, la valeur absolue sur 1-x dans f(x) n'est pas utile.

[kassy225]

Voici l'énoncé :
F(x)=x/ln(1-x)
1) montrer que pour tout entier naturel non-nul, l'existence d'un DL a l'ordre n de f en 0. On écrira le développement limité sous ma forme :
F(x)=sum(ak*x^k + o(x^k))
2) quelles sont les valeurs de a0 et a1
3) a l'aide de l'égalité
X=f(x)ln(1-x) pour x dans ]-1,1[ montrer que pour tout k supérieur ou égal à 2
ak=1/(k+1) + sum(aj/(k-j+1)),j=1 a k-1
En déduire a2, a3, a4
Au fait, gg0 pour le DL que jai trouvé j'avais enlever la valeur absolue pour le calculer, mais je n'ai pas compris comment faire ce calcul polynômial et dans ma somme, j n'ai qu'une variable muette alors je me suis dit que je n'avais pas besoin de le définir .

[kassy225]

Répondez moi svp j'ai vraiment besoin d'aide!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ok, c'est plus clair !

On ne te demande pas de trouver le DL à la question 1, seulement de prouver son existence. A quelle condition une fonction a-t-elle un DL d'ordre n (cours) ?

Cordialement.

[kassy225]

Oui j'ai réussi cette question gg0, il faut que f soit de classe Cn sur son ensemble de définition et c'est le cas, donc elle admet un DL en tout ordre, mais je ne sais pas comment mettre le DL sous la forme demandée.
Pourrais-tu me donner une piste ?
Merci

[kassy225]

Ah d'accord j'ai compris ces que tu voulais dire, mais comment je fais pour la question 3 pour trouver la forme voulue?

[gg0]

Dans x=f(x)ln(1-x), tu peux remplacer f(x) par son DL et ln(1-x)=ln(1+(-x)) par le sien. Tu obtiens ainsi une égalité entre des DL ( x est le DL de la fonction x-->x à l'ordre n, pour n>0) et tu sais qu'il y a unicité du DL. En comparant les coefficients de x, x², ... et aussi les coefficients constants, tu retrouves a₀ et a₁, puis la relation de récurrence qui t'es proposée. On te fait faire une division en fait

Bon travail !

[kassy225]

Merci beaucoup gg0!!!