Exemple où le théorème de Jordan-Brouwer est inopérent

[Turgon]

Bonjour tout le monde!

En cherchant sur le net une démonstration du théorème de Jordan-Brouwer (dont on peut trouver un énoncé sur wikipédia) je suis tombé sur un énoncé encore plus général que celui que je connaissais sur ce lien tiré de l’œuvre de Henri Cartan.

Je cherche, à défaut de comprendre sa démonstration, à visualiser ce théorème et donc j'essaie de trouver des contre-exemple à chauqe fois que toutes les hypothèses de départ sont vérifiées, sauf une.
Et je bloque un peu dans le cas où toutes sont vérifiées (en particulier la trivialité du -ième groupe d'homotopie) sauf celle de l’orientabilité de la variété de départ. Quelqu'un aurait-il un contre-exemple à me fournir dans ce cas? J'espère avoir correctement formulé ma question.
Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

Les notations sont plutôt anciennes. Que représentent et ? Peut-être le -ème groupe d'homologie et le groupe cyclique ?

[Turgon]

Merci pour ta réponse Seirios.

Alors de tête, quand j'étais aller lire le bouquin à la fac, il me semble que le était construit avec des "simplexes orientés" en considérant une espèce de quotient par le noyau d'un "opérateur de bord" (attention, je ne donne pas de définition, juste des termes qui peuvent évoquer quelque-chose, ça ne devait pas être tout à fait ça), et on mettait ça en rapport avec la variété en considérant des "nerfs de recouvrement ouverts". Ça t'évoque quelque-chose? Au pire j'irai revoir le bouquin lundi.

Sinon je pense (le groupe du lien doit bien être le groupe fondamental en petite dimension non?) que si on me donne une variété de dimension 2 simplement connexe mais non orientable pour laquelle Jordan ne marche pas, ça répondrait à ma question.

[toothpick-charlie]

Merci pour ta réponse Seirios.

Alors de tête, quand j'étais aller lire le bouquin à la fac, il me semble que le était construit avec des "simplexes orientés" en considérant une espèce de quotient par le noyau d'un "opérateur de bord"

ça doit être le n-ième groupe d'homologie simpliciale, qu'on note Hn en général.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Turgon]

Alors j'ai le livre entre les mains et donc, Cartan suppose connues les notions de complexe simplicial fini, de simplexe orienté, de chaine et de bord d'une chaine.

Il défini ensuite un objet appelé groupe d'homologie du complexe pour le groupe de base comme le quotient du groupe des cycles (chaines dont le bord est nul) par le sous-groupe des bords (ce qui me parait bizarre, c'est que le groupe de base n'intervient pas dans la définition :O ). Il défini ensuite la même chose avec un modulo: le groupe d'homologie de modulo noté est le quotient du groupe des chaines dont le bord est une chaine de par le sous-groupe somme des chaines de et des bords de chaines de .

Ensuite, je commence à avoir des problèmes vu que je n'ai pas compris à quoi le "groupe de base " faisait référence. Il suppose que est topologique et dit que ça induit une topologie évidente sur .

Dans un deuxième temps, il relie ça à la topologie des espaces. Il défini le groupe d'homologie d'un espace compact modulo un de ses fermés B de la manière suivante: à chaque recouvrement (ouvert) fini , il associe un complexe simplicial appelé le nerf de , noté dont les sommets sont les membres du recouvrement et tel qu'une partie des membres est un simplexe si leur intersection est non vide. Il définit aussi le sous-complexe associé à comme l'ensemble des simplexes de dont les intersection des sommets avec ont une intersection non vide. Il considère les groupes (et une fois encore, je ne vois pas ce que vient faire ici).
Ensuite il fait de l'ensemble des recouvrements fini un ensemble filtrant à gauche pour la relation "a<b si tout membre de a est contenu dans un membre de b", puis en considérant des injection, il passe à la limite projective qu'il définit comme le groupe d'homologie de modulo et note .

Je ne l'ai pas précisé, mais à chaque fois, il s'autorise à ne considérer que les cycle de dimension ce qui nous donne le groupe d'homologie de dimension , noté .

Ensuite, il dit que dans le cas ou est le groupe additif des réels modulo 1, qu'il note , alors est compact (sans doute en partie parce que est supposé compact à la base).

Finalement, ce qu'il note , pour un espace localement compact, c'est le groupe , où est le compactifié d'Alexandroff de , avec le point à l'infini noté (donc désigne le sous-espace dont l'unique point est le point à l'infini.


Donc en somme dans l'extrait que j'ai posté, les et sont et (toutes les étoiles étant inutiles si est compact), désignant toujours le groupe des réels modulo 1.

Du coup, peut-on dénicher à votre avis un contre exemple tel que demandé dans mon premier post?

Merci d'avance.

[toothpick-charlie]

ah tiens je ne sais pas ce que c'est que ce "groupe de base". En cohomologie on a bien un corps de base, mais dans l'homologie simpliciale, on considère des combinaisons linéaires de faces à coefficients dans Z (des sommes avec un signe pour l'orientation). Peut-être est-ce une généralisation où le groupe Z est remplacé par un groupe quelconque g ? Tu vas devoir lire un peu plus de Cartan...

[Turgon]

Si on fait l'analogie avec le "corps de base" des espaces vectoriels, alors ça semble comme tu dit, mais j'ai bien lu et dans toute la partie du bouquin où il parle de ça, ce groupe de base n'est définit à aucun moment. Est-ce que si l'on prend ton exemple avec Z, la topologie sur Z induit une topologie sur le groupe simplicial comme il le suggère dans le livre? Et est-ce que les entiers modulo 1 correspondent à Z? Je ne sais pas trop ce que ça veux dire. Je connais R sur Z c'est le cercle, mais R modulo 1...?

[toothpick-charlie]

à mon avis les réels modulo 1 c'est la même chose que les réels modulo Z. Pour en savoir plus, attendons le passage d'un connaisseur...

[God's Breath]

dans l'homologie simpliciale, on considère des combinaisons linéaires de faces à coefficients dans Z (des sommes avec un signe pour l'orientation). Peut-être est-ce une généralisation où le groupe Z est remplacé par un groupe quelconque g ?

Oui, c'est exactement ça. Les chaînes sont à coefficients dans le groupe g.

Quant aux réels modulo 1, c'est effectivement le quotient par : , la notation vient de ce que Cartan considère le cercle comme un «tore de dimension 1». La terminologie est peut-être ancienne, mais on parle encore de en disant «les entiers modulo p».

[Turgon]

Merci God's Breath! du coup c'est des combinaisons de simplexes à coefficient dans le cercle unité, c'est vrai que j'avais jamais vu, ça :O ! Du coup, quelqu'un a un contre-exemple tel que je le demande, à la propriété de Cartan privé d'une hypothèse?

[toothpick-charlie]

Oui, c'est exactement ça. Les chaînes sont à coefficients dans le groupe g.

Ah ok. Il y a cependant un truc que je ne comprends pas bien. D'habitude quand on considère des combinaisons linéaires d'objets, on prend les coefficients dans un anneau unitaire. Ca permet d'identifier les objets à des combinaisons linéaires particulières. Mais s'il n'y a pas de "1" (cas d'un groupe abélien g quelconque) alors un simplexe n'est pas une chaîne particulière, comme c'est le cas dans la théorie élémentaire où les coefficients sont dans Z. Est-ce qu'il y a une raison profonde pour faire ça?

[God's Breath]

C'est bien loin tout ça...

chaque recouvrement (ouvert) fini , il associe un complexe simplicial appelé le nerf de , noté dont les sommets sont les membres du recouvrement et tel qu'une partie des membres est un simplexe si leur intersection est non vide.

On dispose d'un recouvrement ouvert d'un compact.

Un complexe simplicial est définie par les sommets qui sont les ouverts et les -faces qui sont les -uplets tels que : .

Ordinairement, si on note l'ensemble des -face, les -chaînes sont les combinaisons linéaires de formelles des faces, c'est-à-dire les éléments du groupe abélien libre , et dans le cas qui nous intéresse, c'est en fait puisque est fini.

Ici, les -chaînes sont les éléments du groupe : effectivement, les -faces ne sont pas des -chaînes.

Pour les calculs, il est plus simple que le groupe soit noté additivement, c'est pour cela que Cartan voit le groupe comme plutôt que comme l'ensemble des nombres complexes de module 1.

[toothpick-charlie]

au fait j'avais laissé passer ça:

(...) si on me donne une variété de dimension 2 simplement connexe mais non orientable pour laquelle Jordan ne marche pas, ça répondrait à ma question.

une variété simplement connexe est nécessairement orientable il me semble.

[Turgon]

Ah, c'est possible je ne connaissais pas ce résultat. Du coup la dimension 2 ne convient pas pour mon contre-exemple car il faut que soit nul mais que la variété ne soit pas orientable.

Passons donc en dimension 3 ! Existe-t-il une variété de dimension 3, non orientable telle soit nulle, mais ayant une sous-variété fermée de dimension 2 qui ne la coupe pas en deux composante (et si tout serait compact ça m'arrangerait bien, soi dit en passant, mais bon ça a déjà l'air suffisamment compliqué comme ça).

Merci d'avance.