Analyse Complexe

[jules345]

Bonsoir,

Voila je planche sur l'exercice suivant:

Soit f une fonction entière et A, B, a des réels non nuls tels que |f(z)| <= A+B|z|^a pour tout complexe z de module assez grand. Montrer que f est un polynôme.

Alors déjà comme f est entière on peut dire que f est développable en série entière en tout point de z donc f(z)=

Voila et dans la correction il est écrit que pour un n entier naturel et un r>0 on a :

2*=

Je ne comprends pas du tout d'où vient cette formule... je précise que le titre de ce chapitre est formules intégrales de Cauchy...


Voila si quelqu'un d'entre-vous pourrais m'expliquer je lui en serais reconnaissant

Un grand merci à vous
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[God's Breath]

Bonjour,

L'aspect théorique : la série entière est de rayon infini, donc converge normalement sur tout compact, ce qui légitime une intégration terme à terme de la série.

On obtient ainsi :



L'aspect calculatoire :



et la série des intégrales ne contient qu'un seul terme non nul, donc :

[acx01b]

La méthode de ton exo a l'air de ne nécessiter à peu près aucune connaissance préalable sur les fonctions entières à part le rayon de convergence infini.
J'ai essayé de résoudre le problème comme ça, mais j'ai l'impression que ça demande de savoir beaucoup plus de choses sur les fonctions entières.

Si a un nombre fini de zéros, alors . Dans ce cas, soit est constante et alors est un polynôme, soit a une croissance exponentielle à l'infini ainsi que ce qui est contradictoire avec l'hypothèse que est majorée par quand .

Il reste le cas où possède un nombre infini de zéros .
Dans ce cas, on considère le polynôme . D'après les hypothèses, on a majorée par quand . Donc il existe une constante telle que . La fonction étant entière on a d'après le théorème de Liouville qu'elle est constante et donc que .

[jules345]

@God's Breath: Merci c'est parfait je ne pouvais rêver mieux

@acx01b merci de ta réponse en fait l'idée générale de la correction est de dire qu'un polynôme est une suite d'éléments nuls à partir d'un certain rang. Ta méthode est intéressante mais trop technique pour moi je crois je ne comprends pas pourquoi tu peux écrire f(z) comme le produit de exp(g(z)) avec le produit de (z-p_k) je comprends ton raisonnement lorsque tu dis que g(z) est constante mais pour quoi exp(g(z)) pourrai avoir une croissance exponentielle ? et pourquoi ne pas étudier le cas ou g(z) serait décroissante ?

Désolé de te poser ces questions mais comme tu peux le voir je ne suis pas très à l'aise sur ce chapitre ^^

[A voir en vidéo sur Futura]