Rangs de matrices

[Samuel9-14]

Bonjour à tous ! J'ai un exo d'algèbre dans lequel je dois montrer que pour deux matrices A et B appartenant à M_n(R), on a rg(AB)min(rg(A),rg(B)).

Je ne vois pas comment le démontrer. Peut-on partir des applications linéaires associées à chacune des matrices ? Si f et g sont les ALCA à A et à B, il faudrait montrer que rg(fog)min(rg(f),rg(g)).
Mais là ne sachant rien sur les applications f et g, je ne vois pas comment on pourrait en arriver à ce résultat.

Mon autre idée était de partir sur l'expression des coefficients de la matrice AB, mais je ne pense pas que ça aboutisse, en tout cas je n'arrive pas à faire le lien avec le rang de la matrice.

Enfin, j'ai aussi essayé par l'absurde, en supposant que rg(AB) était strictement supérieur au minimum, mais je me retrouve avec le même problème, c'est-à-dire que je n'arrive pas à traduire le fait que rg(AB) soit strictement supérieur au minimum...

Voilà, merci d'avance pour votre aide !
-----

[gg0]

Bonjour.

L'idée des applications linéaires marche bien. Il te suffit de relier l'application linéaire et le rang ("ne sachant rien sur les applications f et g" est évidemment faux, puisque tu n'utilises pas l'hypothèse quand tu dis ça).

Bon travail !

[Samuel9-14]

Merci de la réponse !

tu n'utilises pas l'hypothèse

Justement, je ne vois pas quelle est l'hypothèse sur laquelle je dois m'appuyer. La seule hypothèse c'est que A et B appartiennent à Mn(R), non ?

[Seirios]

Bonjour,

Disons que f et g sont des endomorphismes d'un espace vectoriel E. Alors tu as E qui est envoyé sur g(E), puis sur fg(E). À chaque étape, tu perds éventuellement de la dimension, dépendant du rang de f et g.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement,

mon mot hypothèse n'est pas le bon. Mais la conclusion se traduit en une idée que Seirios vient de donner.

[Samuel9-14]

Ok !
Mais là je ne vois pas vraiment comment rédiger.

Je dis que f et g sont deux endomorphismes d'un espace vectoriel E de dimension m.
Je cherche la dimension de fog.
Et après j'ai du mal à visualiser ce qu'il se passe...

À chaque étape, tu perds éventuellement de la dimension

C'est en lien avec la formule du rang ça, non ?
Est-ce qu'il faut "l'appliquer à chaque étape" ?
C'est-à-dire, g(E) est un EV de dimension dim(E), d'après la formule du rang, f(g(E)) est un EV de dimension dim(g(E)).
Et dim(E)min(rg(f),rg(g)) (car f et g sont deux endomorphismes de E)

Est-ce qu'il y a tout ?

[Seirios]

C'est-à-dire, g(E) est un EV de dimension dim(E), d'après la formule du rang, f(g(E)) est un EV de dimension dim(g(E)).

g(E) est un sous-espace vectoriel de E, donc nécessairement de dimension au plus dim(E), il n'y a pas de formule du rang ici. Par contre, la formule du rang va te donner quantitativement le défaut de dimension. En comparant ce qui se passe en appliquant g puis f avec ce qui se passe en appliquant directement fg, tu devrais pouvoir conclure.

[Samuel9-14]

D'accord merci !
Par contre appliquer g puis f c'est différent d'appliquer directement fg ? Je ne vois pas trop pourquoi...

[Seirios]

C'est bien sûr la même chose, mais utiliser ces deux points de vue permet de faire intervenir les rangs de g et f d'un côté, et le rang de fg de l'autre.

[Samuel9-14]

Ok !

J'ai essayé de visualiser un peu ce qu'il se passe mais en fait je ne suis pas sur de bien comprendre la chose.

Si on schématise ça donne :
E->g(E)->fg(E)
dim(E)->rg(g)->rg(fog)

En fait, rg(g) est forcément inférieur ou égal à dim(E), mais ça ne nous sert pas vraiment ici.
On a en outre, d'après la formule du rang, rg(fog) inférieur ou égal au rg(g)
Ou alors, si g(E) est inclus dans fog(E), alors rg(fog) inférieur ou égal au rg(f).
Je ne suis pas sur de ma dernière affirmation. J'ai du mal à visualiser le fait que rg(fog) puisse être inférieur ou égal au rang de f.

[God's Breath]

Bonjour,

Peux-tu donner une inclusion entre et ? une autre inclusion entre et ?

[Samuel9-14]

Bonjour,
Je dirais que Im(fog) est inclus dans Im(f) et Ker(g) inclus dans (Ker(fog). (Ce qui contredit ce que j'ai affirmé tout à l'heure...)

[God's Breath]

Ces inclusions fournissent des inégalités de dimension que l'on traduit immédiatement en termes de rang.

[Samuel9-14]

On a alors rg(fog) inférieur ou égal au rang de f
et dim(Ker(g)) inférieur ou égal à dim(ker(fog), ce qui implique dim(Im(g)) supérieur ou égal à dim(Im(fog)).
Donc rg(fog) inférieur ou égal au rang de f ou au rang de g.

Ok, je crois que c'est bon maintenant, merci à tous !
Les deux incluions doivent-elle être démontrées ou peut-on les considérer comme triviales ?

[God's Breath]

Les deux incluions doivent-elle être démontrées ou peut-on les considérer comme triviales ?

Depuis les Grecs, qui dit mathématique, dit démonstration. (N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Théorie des ensembles, introduction)

[Samuel9-14]

Bon bah je sais ce qu'il me reste à faire...

Par contre, ce que je trouve surprenant c'est qu'au final la réponse est assez longue alors que c'est la question préliminaire d'un DM. N'y avait-il pas un moyen plus rapide ? (En tout cas je vais utiliser ça puisque l'idée des endomoprhismes est quand même celle qui métait venue au départ).

[gg0]

Bonjour.

La preuve est quand même assez courte. Même si on justifie les quasi évidences comme Im(fog) inclus dans Im(f).
Question préliminaire ne veut pas dire question à réponse courte.

Si tu sais que l'antécédent d'une partie libre est une partie libre, tu peux partir d'une base de Im(fog), en déduire une partie libre de R^n et donc que rang(f)>= rang(fog), puis réutiliser la même idée pour voir que rang(g)>=rang(fog).
Eventuellement, tu peux commencer par démontrer que si {f(x1), f(x2), ...f(xn)} est libre, alors {x1,x2,...xn} est libre puis t'en servir.

Cordialement.

Cordialement.

[Samuel9-14]

Oui c'est vrai.

Et non, je ne connais pas les parties libres donc ici je ne pourrais pas m'en servir ! Merci quand même !

[God's Breath]

Parler de rang sans connaître les parties libres, une bizarrerie des nouveaux programmes ?

[gg0]

Oui,

effectivement, c'est quoi alors, le rang d'une application linéaire ?

[gg0]

Et dans l'autre sujet, Samuel9-14,

tu parles de dimensions de sev. Sans savoir ce qu'est une base ?

Là, je crains que tu nous ait raconté des craques ! Que tu n'aies pas appris, toi, ce qu'est une famille libre, une partie libre, je veux bien. Que ton cours n'en parle pas ?