Intégrer une équation différentielle

[Bagnolet]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait t'il m'aider à comprendre ceci:

Globalement ma question porte sur le fait que je ne comprend pas ce que je fait quand
j'ai une equation différentielle à variable séparé par exemple:

et qu'il s'agit d'intégrer chaque côté de l'équation.

D'abord, je sais que est la dérivée de x par rapport à t, c'est une fonction.
Mais quand on les sépare, à quoi ça correspond exactement? c'est quoi comme objet mathématique?
D'après ce que je crois avoir compris ce sont des variables au même titre que t par exemple. Est-ce correct?
Du coup cette équation est fonction de x de dx et de dt?

Ensuite, pour résoudre cette équation, il faut l'intégrer de chaque côté, or je sais que pour intégrer une fonction,
il faut qu'elle soit continu, qu'est ce qui m'assure que cette fonction est continu?

Et puis quel règle utilise t'on pour intégrer cette équation, c'est qu'elles théorèmes qu'on applique? c'est quelle partie des maths?

De plus, en général quand on intègre une fonction f par exemple on écrit :


Or dans mon équation différentielle les et sont déjà présent dans ce qu'on a à intégrer.

Du coup je suis perturbé, et je comprend vraiment pas grand chose.:/

Si ça prend trop de temps à expliquer, pourriez vous m'indiquez vers quelles théorèmes, propriétés, définitions me diriger.

Un grand merci à celui ou celle qui me donnera le sourire parce qu'il aura réussi à rendre intelligible tout ces nouveaux concept pour moi.
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[Suite2]

Du point de vue des maths, tout est "faux". En revanche c'est une simplification du changement de variable (au départ avec la physique). Je vais donner une explication formelle, sans démonstration et surtout sans toutes les contraintes de solution maximales etc...

on pose f une application continue qui ne s'annulle jamais. On cherche ue solution de . L'implication suivante

implique

revient à faire comme annoncé un changement de variable, dans le sens qui suit. On pose g solution de l'équation dufférentielle

.

On peut même expliciter à l'aide d'une intégrale. Ensuite on pose .

Maintenant arrive la manipulation de séparation des variables. L'équation

devient
. Or par définition le membre de gauche est la dérivée de $h$. Autrement dit,

.

On en déduit que

. Finalement en utilisant la forme explicite de $h$, on trouve

. Cette dernière égalité est la formule de séparation de variable. En physique, et parfois même en maths, on écrit pour simplifier le raisonnement suivant
donc , d'où . En intégrant entre le temps t=0 et t=t, on obtient
. D'où...

J'espère avoir été clair ? Sinon, je conseil de chercher des documents, ou bien des exercices sur la "résolution générale des équations différentielles à variables séparées" (c'est un exercice type de niveau L2/L3, ou MP pour les classes prépa, il est crucial de connaitre le théorème de Cauchy-Lipshitz en terme de solutions maximales).
Autre références, intéresses toi aux formes différentielles, et comprend ensuite que dx/dt revient à projeter a forme différentielle dx sur dt...

[Seirios]

Bonjour,

J'avais posé, il y a un moment maintenant, la question de la rigueur des notations de Leibniz pour les dérivées; tu devrais trouver des informations utiles ici.

[invite06622527]

Bonjour Bagnolet,

Les notations de Leibniz faisant intervenir des infinitésimaux dx, dy, dt , etc. ont été largement discutées, à tel point que la façon dont elles étaient conçues et enseignées à l'origine a peu à peu sombré dans une sorte d'oubli partiel. Néanmoins, malgré les insuffisances incontestables de rigueur théorique, ces notations et leur usage avaient bien des avantages, dont les Physiciens continuent de tirer parti.
Depuis ces temps anciens, les mathématiques et leur enseignement ont tellement évolués que, dans l'état d'esprit actuel, il faut faire un effort pour accepter de manipuler ces anciens symboles qui pourtant sont d'un abord si naturel ! Néanmoins, lorsque ces manipulations semblent douteuses, on peut se rassurer car de récents travaux théoriques montrent que ces pratiques anciennes étaient tout à fait correctes, sans qu'on le sache à l'époque.
Malheureusement, au cours du temps, il en est résulté une sorte de fossé entre l'enseignement en mathématiques d'une part et en physique d'autre part, pour les mêmes notions mais vues sous des optiques différentes, alors que cette diversité de points de vues est une richesse pour concilier la théorie et la pratique.
En raison de son niveau de vulgarisation trop élémentaire, j'ose à peine citer cet article "Une querelle des Anciens et des Modernes" qui a été publié dans le magazine "Quadrature" et qui est maintenant accessible sur Scribd par le lien suivant : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6754323456711]

Malheureusement, au cours du temps, il en est résulté une sorte de fossé entre l'enseignement en mathématiques d'une part et en physique d'autre part, pour les mêmes notions mais vues sous des optiques différentes, alors que cette diversité de points de vues est une richesse pour concilier la théorie et la pratique.

Dans l'ouvrage "La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique" de Roger Penrose il est pourtant fait usage des notions de champs de vecteurs et de 1-forme en physique dans le langage de fonction (application linéaire, forme linéaire) et non de grandeurs infinitésimales tel que précisé par God's Breath.

Patrick

[invite06622527]

@ ù100fil :
oui, bien sûr, on trouve cela dans des ouvrages et publications. Mais je parlais de l'enseignement et de ce qu'il en reste lorsque les étudiants ont, par la suite, l'occasion d'utiliser les notions sous leur présentation soit "de physiciens" soit "de Mathématiciens". On voit ce que cela donne sur les forums, lorsque l'on rencontre des questions du genre de celle qui a ouvert la présente discussion.