Algèbre ...

[invite8c935645]

Bonsoir à tous,

Je rencontre un problème que je n'arrive pas à justifier. Je crois connaître la réponse mais je n'arrive pas à trouver le pourquoi et les justificatifs ... Quelqu'un pourrait-il m'aider, s'il vous plaît ?

Voici le problème : on demande combien de vitraux de 6 carrés avec chacun 2 couleurs possibles sont possibles (on peut retourner le vitrail) ?

J'ai d'abord réfléchi et essayé de résoudre mais étant tout le temps dans le doute, j'ai finalement dessiné tous les vitraux possibles et je suis arrivée à 24 possibilités.

Toutefois, je n'arrive pas à trouver le plus important : comment justifier ça mathématiquement ?

Pour moi, l'ordre est de |G| = 12
L'identité = 2^6=64
Symétrie ? On a les symétries bilatérales + symétrie centrale (rotation de 180°), soit : 2^3 = 8
Pour ce qui est des rotations, je ne sais pas trop hélas ... Mais s'il y avait par exemple 4 rotations possibles (ce que je ne sais pas), j'aurais 2.2^4=2^5=32 (où on a multiplié par 2 le 2^4 car 2 couleurs possibles à chaque fois).

Au final, on aurait donc : (1/12).(64+8+32) = 104/12= 8,67 possibilités pour les vitraux mais évidemment, ça pose problème puisque je n'ai pas obtenu un nombre entier et donc, c'est que mon raisonnement est faux En plus, à la main, je trouve la réponse qui devrait être de 24 possibilités.

Quelqu'un pourrait m'aider ? Ça fait depuis longtemps que je bloque

Merci d'avance !
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[inviteea028771]

Voici le problème : on demande combien de vitraux de 6 carrés avec chacun 2 couleurs possibles sont possibles (on peut retourner le vitrail) ?

Tel que je comprends la question, je répondrais 64 :

Il y a bien, une fois fixé a la fenêtre, 64 vitraux différents possibles, même si il faut moins de 64 dispositions des carreaux pour obtenir ces 64 vitraux (par rotations et symétrie)

[invite8c935645]

Merci pour ta réponse.

Mais j'ai beau refaire les dessins, je tombe sur 24 configurations possibles. Comment procèdes-tu ,s'il te plaît ?

Par ailleurs, j'aimerais surtout savoir comment cela se justifie mathématiquement (symétries et rotations en jeu car je ne vois pas comment savoir lesquelles sont d'application pour ce problème-ci ).
Les justifications mathématiques sont très importantes pour moi. Elles me permettront de résoudre d'autres problème du même genre et me seront utiles pour encore mieux comprendre la théorie et de mieux pouvoir l'appliquer. C'est pourquoi je fais appel à votre aide.

[invite8c935645]

Je me disais aussi que peut-être mon énoncé n'était pas assez clair :
En fait, il faut considérer un rectangle (le vitrail) qui est composé de 6 carrés mis les uns à côté des autres.
Si une croix est un carré, alors ça donnerait ceci :
xxx
xxx

Pour chaque croix, il y a 2 couleurs possibles. On demande alors combien de vitraux de la sorte existe-t-il ?

Moi, en dessinant, j'arrive à chaque fois à 24 configurations possibles.
Mais quand je justifie à l'aide de symétries, je n'arrive qu'à 8,67 qui n'est même pas un nombre entier ...

C'est pourquoi je me demandais si quelqu'un pouvait m'éclairer, s'il vous plaît ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Il y a 2 choix pour la couleur du premier carré multiplié par deux choix pour la couleur du deuxième carré, multiplié par deux choix pour la couleur du troisième carré, etc... donc 2^6 possibilités, toutes distinctes

[invite8c935645]

Merci Tryss de t'intéresser à mon problème

En fait, le problème avec ta proposition, c'est que ce n'est pas aussi simple car on peut retourner le vitrail et donc, sur ces 64 configurations que tu proposes, il y en a un bon nombre qui se rejoignent (càd qui sont équivalentes et qu'on peut donc éliminer sous peine sinon de compter plusieurs fois une même configuration). Autrement dit, il y en a moins que 64.

Je sais que je me répète, mais quand je dessine toutes les configurations possibles, je tombe vraiment à chaque fois sur 24.
Mon problème, c'est que je ne sais pas justifier mathématiquement à l'aide de symétries, rotations, nombre de couleurs possibles, ... comme je devrais pourtant savoir le faire ... Et ce sont ces justifications mathématiques qui sont les plus importantes.

Voici mes dessins :
Si un croix "x" symbolise la couleur bleue et le "o" la couleur rouge ( "/" pour "mettre en dessous pour faire le rectangle vitrail"), j'ai alors les configurations possibles suivantes :

* Tous les carrés sont rouges ou bien bleus :
OOO /OOO ou bien XXX/XXX --> 2 configurations.


* 1 carré rouge et 5 bleus :
OXX/XXX ou bien XOX/XXX --> 2 configurations (pour "1 carré rouge et 5 bleus) + 2 configurations (pou "1 carré bleu et 5 rouges").

Note : il n'y a pas d'autres configurations ici car si on retourne le vitrail on tombe sur les même configurations : par exemple :
XXX/OXXX est équivalent à OXX/XXX grâce à une symétrie bilatérale.


* 2 carrés rouges et 4 bleus : 6 configurations.
* 2 carrés bleus et 4 rouges : 6 configurations.
* 3 carrés bleus et 3 rouges : 6 configurations.

Conclusion : 2+2+2+6+6+6 = 24 configurations en tout.


Mais comment justifier mathématiquement en utilisant l'ordre, l'identité, les symétries et les rotations possibles ?

[inviteed684306]

Salut à tous !
Bonnie_- , je ne comprends pas ton obstination pour les rotation, symétrie,...

A ta place, je résonnerais comme Tryss (sauf qu'il à oublié les versos des carrés), autrement dit, comme en T.

Tout étant indépendant, le problème revient à ceci: de combien de façon peut-on mettre indépendamment, des boules de couleur rouge ou bleue, dans 12 boites, chaque boite devant contenir exactement une boule.

Réponse: 2^12=144 possibilités.

[gg0]

Quel dommage de ne pas reconnaître le questionnement de Bonnie_-.

Bonnie, avec la symétrie centrale (rotation de 180°) et une symétrie axiale, n'as-tu pas tous les cas ? les autres symétries s'en déduisent, non ?

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Si j'ai bien compris, vous identifiez les vitraux présentant une symétrie horizontale, ou verticale ou centrale, si c'est bien le cas, il suffit de compter
= nombre de vitraux présentent une symétrie horizontale et verticale (donc centrale),
= nombre de vitraux présentent une symétrie Horizontale -
= nombre de vitraux présentent une symétrie Verticale -
= nombre de vitraux présentent une symétrie Centrale - .

Le nombre de vitraux sera

[inviteed684306]

Que représente n ? quelles sont les valeurs de T, H, V et C ? Que mettez-vous dans configuration d'un vitrail (ou comment le comprendre) ? Voulez-vous tourner les carrés dans toutes les positions possibles ?

[invite8c935645]

Quel dommage de ne pas reconnaître le questionnement de Bonnie_-.

Bonnie, avec la symétrie centrale (rotation de 180°) et une symétrie axiale, n'as-tu pas tous les cas ? les autres symétries s'en déduisent, non ?

Cordialement.

Oui, je suis d'accord.
Pour les autres qui m'ont aidé, merci mais pour MEDIAT, je ne comprends pas et pour ceux qui résolvent à l'aide de probabilité, je trouve ça intéressant mais le nombre trouvé est trop grand ...).
Malgré cela, je n'arrive pas à tomber sur la réponse qui devrait être de 24. A mon avis, c'est que je ne tiens pas compte des combinaisons de symétries comme par exemple : (symétrie bilatérale "verticale")o(symétrie centrale). J'essaie plusieurs combinaisons mais apparemment hasardeuses pour justifier la réponse de 24.
En fait, je crois qu'on peut considérer le vitrail de 6 carrés comme le graphe suivant (histoire d'appliquer la théorie des orbites, graphes et symétries qui va avec ...) :
*-*-*
| | |
*-*-*
C'est symbolique ... L'étoile * représenterait un point et - ou | sont des segments qui relient ces 6 points (qui sont en fait les 6 carrés chacun pouvant soit être rouge soit bleu).
Ordre du graphe = |G|=12.
|Identité| = 2^6=64
|ensemble des symétries bilatérales| = 2^2=4 (l'une verticale et l'autre horizontale, et l'exposant 2 vient du fait qu'il y a 2 couleurs possibles et qu'on peut retourner le vitrail dans son entièreté).
|symétrie bilatérale o symétrie centrale| = 2^2=4 (même justifications que ci-dessus).
|rotations|=0 car tout bouge.

Le nombre de configurations serait alors de (1/12).(64+4+4)=72/12=6 (ce qui est trop petit et surtout c'est différent de 24 ).

Bref, je bloque toujours. S'il vous vient une autre idée ou si vous voyez là où je me trompe ou là où il me manque quelque chose que je n'ai pas pris en compte, je suis prenante.

Quoiqu'il en soit, merci de vous intéresser à mon problème

[thepasboss]

Bonsoir,

sinon il y a la formule de Burnside : http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_...le_de_Burnside

(je parle de ça parce qu'il y a "algèbre" dans le titre). Ici le groupe de symétrie est de cardinal 4, et il n'y a plus qu'à s'occuper des différentes classes comme l'a fait médiat :

(Si jamais ces considérations de théorie des groupes vont trop loin et bien... Et ben j'vois pas trop comment faire beaucoup mieux sans indirectement remontrer la formule de Burnside ! )

Ceux fixé par l'identité, i.e tout le monde, 64.
Ceux fixé par la symétrie verticale : 2^3=8
ceux fixé par la symétrie horizontale : 2^4=16
ceux fixé par la rotation : 2^3=8

Et on applique la formule des classes, ce qui fait que le nombre de vitraux est
. Cqfd.

sinon faire tous les dessins est aussi une preuve valide !

[invite8c935645]

Bonsoir,

sinon il y a la formule de Burnside : http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_...le_de_Burnside

(je parle de ça parce qu'il y a "algèbre" dans le titre). Ici le groupe de symétrie est de cardinal 4, et il n'y a plus qu'à s'occuper des différentes classes comme l'a fait médiat :

(Si jamais ces considérations de théorie des groupes vont trop loin et bien... Et ben j'vois pas trop comment faire beaucoup mieux sans indirectement remontrer la formule de Burnside ! )

Ceux fixé par l'identité, i.e tout le monde, 64.
Ceux fixé par la symétrie verticale : 2^3=8
ceux fixé par la symétrie horizontale : 2^4=16
ceux fixé par la rotation : 2^3=8

Et on applique la formule des classes, ce qui fait que le nombre de vitraux est
. Cqfd.

UN TRES GRAND MERCI ! C'est bien tout cela que je ne trouvais pas comme justifications mathématiques !

Par contre, désolée mais pour être sûre de tout comprendre (bien que tu sois assez clair et que j'ai pu comprendre pas mal de choses déjà grâce à toi), j'aurais besoin, si tu le veux bien que tu me dises :

1) pourquoi le groupe de symétrie est et non les naturels et l'exposant, c'est pourquoi ? Car , c'est parce qu'il y a 2 couleurs possibles mais pour l'exposant 2, je ne vois pas ...

2) Pour ceux fixés par la sym horizontale, pourquoi 2^4 et non 2^2 ?

3) Pour ceux fixés par la rotation, pourquoi 2^3 ? J'avais l'impression qu'à part une sym centrale (donc une rotation de 180°), il n'y avait pas d'autre rotation possible ...

Désolée d'insister mais je crois que je suis sur le point de comprendre la résolution de l'exercice dans son entièreté Enfin, si tu veux bien encore répondre à ces dernières questions.

P.S.: j'avais déjà fait les 24 petits dessins

[Médiat]

pour MEDIAT, je ne comprends pas

Dommage, car cela me donne 24.

[Médiat]

Bonjour,

Et on applique la formule des classes, ce qui fait que le nombre de vitraux est
. Cqfd.

Je ne connaissais pas la formule de Burnside, mais ici c'est assez trivial, et la formule trouvée est la même que la mienne (en posant H = H' -T, V = V' - T, C = C' - T), ce qui me rassure

[thepasboss]

1) pourquoi le groupe de symétrie est et non les naturels et l'exposant, c'est pourquoi ? Car , c'est parce qu'il y a 2 couleurs possibles mais pour l'exposant 2, je ne vois pas ...

2) Pour ceux fixés par la sym horizontale, pourquoi 2^4 et non 2^2 ?

3) Pour ceux fixés par la rotation, pourquoi 2^3 ? J'avais l'impression qu'à part une sym centrale (donc une rotation de 180°), il n'y avait pas d'autre rotation possible ...

Désolée d'insister mais je crois que je suis sur le point de comprendre la résolution de l'exercice dans son entièreté Enfin, si tu veux bien encore répondre à ces dernières questions.

P.S.: j'avais déjà fait les 24 petits dessins

Alors dans l'ordre :

1) C'est avant toute chose une notation qui n'apporte rien... On peut bosser tout le long juste en se disant : il y'a quatre élément dans le groupe des symétries du vitrail, horizontal, vertical, central, et surtout la symétrie qui consiste à ne rien faire (Ne jamais l'oublier celle là !). On remarque que la rotation est obtenue en faisant la symétrie vertical puis l'horizontal et vice versa, et que si j'applique deux fois de suite la symétrie verticale (ou horizontale), et bien je reviens à ma position de départ. De ces deux remarques on déduit la structure du groupe, qui est celle décrite : (Z_2)^2 est le seul groupe à quatre élément qui vérifie l'analogue de ces deux propriétés. Pourquoi le noter avec un Z ? Et bien c'est une habitude qui est totalement légitime de par l'origine même du groupe : on l'obtient comme un quotient du groupe Z. Comme N n'est pas un groupe, il sera difficile de trouver un manière de la quotienter "en tant que groupe" pour obtenir notre jouet

2) Je pars du principe que le vitrail est dans la disposition suivante :

X X
X X
X X

On considère la symétrie horizontale : les deux carreaux du milieu ne sont pas impacté par la symétrie, et je peux donc choisir ce que je veux pour ces deux carreaux. Si je choisis une couleur pour un des carreaux du dessus, cela fixe la couleur pour le carreau juste deux niveau en dessous. en regroupant tout ça : je peux obtenir tous les vitraux qui sont invariants par symétrie horizontal en fixant 4 carreaux, d'où le 2^4.

3) même disposition, symétrie centrale. Ceux du milieu doivent avoir la même couleur. Ceux dans deux coins opposé aussi. Au final le vitrail est complètement déterminé par le choix de trois carreaux, d'où le 2^3

Voilà, j'espère que ça t'aide.

[Médiat]

Comme N n'est pas un groupe, il sera difficile de trouver un manière de la quotienter "en tant que groupe" pour obtenir notre jouet

Bonjour,

Juste une petite remarque marginale : il n'y aucun problème théorique à quotienter un magma pour obtenir un groupe, la seule chose qui est utilisée lors du quotient, est la loi de composition interne, en tout état de cause, lorsqu'on fait un quotient, c'est pour obtenir des propriétés différentes (c'est d'ailleurs le cas, même si on part de ).

Dans ce cas précis :

[thepasboss]

Bonjour,

Juste une petite remarque marginale : il n'y aucun problème théorique à quotienter un magma pour obtenir un groupe, la seule chose qui est utilisée lors du quotient, est la loi de composition interne, en tout état de cause, lorsqu'on fait un quotient, c'est pour obtenir des propriétés différentes (c'est d'ailleurs le cas, même si on part de ).

Dans ce cas précis :

Ah oui effectivement. Merci pour cette remarque ^^

[invite179e6258]

(...) quotienter un magma

tiens, de mon temps on appelait ça un monoïde (N).

[Médiat]

tiens, de mon temps on appelait ça un monoïde (N).

Ce n'est pas exactement le même sens :

Magma = LCI (et c'est la seule chose utile ici)
Monoïde = LCI associative + élément neutre

Dans le cas de , il s'agit d'un monoïde c'est à dire d'un magma associatif et unitaire (certains disent unifère).

[invite8c935645]

MERCI A TOUS !

Et surtout à Thepasboss et Mediat qui m'ont bien aidée et répondu à toutes mes questions : avec en prime 2 façons de résoudre le problème :

Si un jour, je peux aider comme vous le faites, je serai ravie de le faire